I日本医科大学 2008年 数学 第I問解答・解説

正の整数$d$に対し$m_d=\lfloor n/d\rfloor$とおく。$n$以下の3の倍数、7の倍数、21の倍数はそれぞれ$d,2d,\ldots,m_dd$（$d=3,7,21$）である。したがって、3または7で割り切れる数の個数と総和は、重複する21の倍数を一度引いて $$a_n=m_3,\qquad b_n=m_3+m_7-m_{21},$$ $$\displaystyle S_n=\frac{3m_3(m_3+1)}2+\frac{7m_7(m_7+1)}2-\frac{21m_{21}(m_{21}+1)}2.$$ $n=100$では$(m_3,m_7,m_{21})=(33,14,4)$だから $$a_{100}=33,\quad b_{100}=33+14-4=43,$$ $$\displaystyle S_{100}=\frac{3\cdot33\cdot34}{2}+\frac{7\cdot14\cdot15}{2}-\frac{21\cdot4\cdot5}{2}=1683+735-210=2208.$$

固定した$d$について$n/d-1<m_d\le n/d$なので$m_d/n\to1/d$。ゆえに $$\displaystyle \frac{a_n}{n}\to\frac13,\qquad \frac{b_n}{n}\to\frac13+\frac17-\frac1{21}=\frac37.$$ また $$\displaystyle \frac{d m_d(m_d+1)}{2n^2} =\frac d2\left(\frac{m_d}{n}\right)^2+\frac{d m_d}{2n^2} \longrightarrow\frac1{2d}.$$ 上の総和式に適用すると $$\displaystyle \frac{S_n}{n^2}\longrightarrow\frac12\left(\frac13+\frac17-\frac1{21}\right)=\frac3{14}>0.$$ したがって$S_n/n^c$が正の有限値に収束する指数は$c=2$だけであり、その極限は$3/14$である。