II日本医科大学 2008年 数学 第II問解答・解説

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まず展開すると $$f(x)=(x^2-1)(x-2)=x^3-2x^2-x+2,\qquad f'(x)=3x^2-4x-1.$$

・ $$\displaystyle f'(x)=0 \text{であるための必要十分条件は} x=\frac{4\pm\sqrt{16+12}}6 =\frac{2\pm\sqrt7}{3}.$$

・ 多項式の割り算により $$\displaystyle f(x)=\left(\frac{x}{3}-\frac29\right)f'(x) +\frac{-14x+16}{9}.$$ したがって商は $\displaystyle \frac{x}{3}-\frac29$、余りは $\displaystyle \frac{-14x+16}{9}$ である。

・ $$\displaystyle \alpha=\frac{2-\sqrt7}{3},\qquad \beta=\frac{2+\sqrt7}{3}$$ とおくと $f'(x)=3(x-\alpha)(x-\beta)$ である。よって $f$ は $x<\alpha$ で増加、$\alpha<x<\beta$ で減少、 $x>\beta$ で増加する。 臨界点 $t$ では $3t^2-4t-1=0$ より $t^2=(4t+1)/3$、$t^3=(19t+4)/9$ となるので $$\displaystyle f(t)=t^3-2t^2-t+2=\frac{-14t+16}{9}.$$ したがって $$\displaystyle f(\alpha)=\frac{20+14\sqrt7}{27},\qquad f(\beta)=\frac{20-14\sqrt7}{27}.$$ 水平線 $y=a$ が3つの単調区間それぞれと交わるのは、 極小値と極大値の間にあるとき、かつそのときに限る。 端点では極値点で重なり、異なる解は2個なので不等号は厳密である。 $$\displaystyle \boxed{\frac{20-14\sqrt7}{27}<a<\frac{20+14\sqrt7}{27}}$$