II慶應義塾大学 2009年 数学 第II問解答・解説

$D=a^2m^2+b^2$、$H=\sqrt D$ とおく。

楕円と直線の交点の$x$座標は、直線の式を楕円の式に代入して整理した$Dx^2+2a^2mkx+a^2(k^2-b^2)=0$の二つの解である。この二次方程式の判別式は$\Delta=4a^2b^2(D-k^2)$である。従って異なる二点で交わる条件は$D-k^2>0$であり、$k<0$を合わせると$k>-H$となる。よって$(\text{あ})=D$である。

二解の差の絶対値は$\sqrt\Delta/D=2ab\sqrt{D-k^2}/D$である。直線上では$y=mx+k$だから、二点間の距離は$\sqrt{1+m^2}$倍の$x$座標の差となる。従って$\displaystyle PQ=\dfrac{2ab\sqrt{(1+m^2)(D-k^2)}}{D}$、すなわち$(\text{い})=(1+m^2)(D-k^2)$である。

次に$R=(x,y)$を楕円上に取ると、$X=x/a, Y=y/b$は$X^2+Y^2=1$を満たす。また$y-mx=bY-amX$であるから、内積の不等式より$(y-mx)^2\leq(b^2+a^2m^2)(X^2+Y^2)=D$となる。この両端$\pm H$は$(X,Y)=\pm(-am,b)/H$で実現する。直線から$R$までの距離は$\lvert y-mx-k\rvert/\sqrt{1+m^2}$である。$-H<k<0$のもとでこの距離の最大値は$(H-k)/\sqrt{1+m^2}$となる。従って$(\text{う})=(H-k)/\sqrt{1+m^2}$である。

三角形の面積は底辺$PQ$と高さの積の半分だから、$\displaystyle A=\dfrac{ab(H-k)\sqrt{H^2-k^2}}{H^2}$である。$u=-k/H$とおけば$0<u<1$で、$A=ab(1+u)\sqrt{1-u^2}$となる。その微分は$\displaystyle A\prime(u)=ab\dfrac{(1+u)(1-2u)}{\sqrt{1-u^2}}$である。よって$0<u<1/2$で増加し、$1/2<u<1$で減少するので、最大は$u=1/2$、すなわち$k=-H/2$である。このとき$\displaystyle A=\dfrac{3\sqrt3}{4}ab$となる。