1山形大学 2012年 数学 第1問解答・解説

全結果は，各回に $1,2,\ldots,8$ のいずれかが出る順序つき組 $(a,b,c,d)$ で表せる。復元抽出なので全事象は $8^4=4096$ 通りで，すべて同様に確からしい。

(1) $a+b+c+d=6$ で $a,b,c,d$ は正整数である。$x=a-1,\ y=b-1,\ z=c-1,\ w=d-1$ と置けば $x+y+z+w=2$ の非負整数解を数えればよい。その個数は $$\displaystyle \binom{2+4-1}{4-1}=\binom53=10.$$ 各変数はこの場合 $1$ から $3$ までなのでカードの範囲内であり，確率は $$\displaystyle \frac{10}{8^4}=\frac5{2048}.$$

(2) 積 $abcd$ が奇数であるためには4回とも奇数を引けばよい。各回の確率は $4/8$ で，復元抽出による独立性から $$\displaystyle \left(\frac48\right)^4=\frac1{16}.$$

(3) $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$ は，少なくとも1回 $1$ を引くことと同値である。余事象は4回とも $2$ から $8$ のいずれかを引く場合なので $$\displaystyle 1-\left(\frac78\right)^4=\frac{8^4-7^4}{8^4}=\frac{1695}{4096}.$$

(4) $m=ab,\ q=cd$ と置く。両辺に $2abcd$ を掛けると $$\displaystyle \frac1{ab}+\frac2{cd}=\frac12 \quad\text{すなわち}\quad 2cd+4ab=abcd \quad\text{すなわち}\quad (m-2)(q-4)=8.$$ $m,q$ は正整数である。$m-2<0$ なら $m=1$ で $m-2=-1$ だが，$q-4\ge-3$ なので積を $8$ にできない。また片方が $0$ でも積は $8$ にならない。したがって両因子は正であり，正の因数対 $$(m-2,q-4)=(1,8),(2,4),(4,2),(8,1)$$ だけを調べればよい。対応する $(m,q)$ は $(3,12),(4,8),(6,6),(10,5)$ である。$1\le u,v\le8$ の順序つき組で $uv=s$ となる個数を $N(s)$ とすれば $$N(3)=2,\ N(12)=4,\ N(4)=3,\ N(8)=4,\ N(6)=4,\ N(10)=2,\ N(5)=2.$$ よって条件を満たす組は $$N(3)N(12)+N(4)N(8)+N(6)^2+N(10)N(5) =2\cdot4+3\cdot4+4\cdot4+2\cdot2=40$$ 通りであり，求める確率は $$\displaystyle \frac{40}{8^4}=\frac5{512}.$$