3金沢大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(1)

成分乗算により$A^2=r^2E$である。従って $$\boxed{A^{2k}=\begin{pmatrix}r^{2k}&0\\0&r^{2k}\end{pmatrix},\qquad A^{2k+1}=\begin{pmatrix}0&-r^{2k+1}\\-r^{2k+1}&0\end{pmatrix}}.$$

(2)

(1)の行列を$\displaystyle \binom{-1}{2}$に掛けて $$\boxed{(x_n,y_n)=\begin{cases}(-r^n,2r^n)&n\text{が偶数},\\(-2r^n,r^n)&n\text{が奇数}.\end{cases}}$$ 奇数の場合の式は$n=1$でも直接の乗算から成立する。

(3)

$P_1=(-2r,r)$より $$\boxed{d_1=\sqrt{(1-2r)^2+(r-2)^2}=\sqrt{5r^2-8r+5}}.$$ 任意のベクトル$\boldsymbol v=(u,v)$に対して$A\boldsymbol v=(-rv,-ru)$だから、その長さは$r\sqrt{u^2+v^2}$となる。 $\overrightarrow{P_nP_{n+1}}=A\overrightarrow{P_{n-1}P_n}$より$d_{n+1}=rd_n$。従って $$\boxed{d_n=r^{n-1}\sqrt{5r^2-8r+5}}.$$ $5r^2-8r+5=5(r-4/5)^2+9/5>0$なので$d_1>0$。無限級数が収束する必要十分条件は$0<r<1$であり、和は$d_1/(1-r)$である。 これが3となるためには $$\sqrt{5r^2-8r+5}=3(1-r)$$ が必要である。$0<r<1$では両辺正なので2乗してよく、 $$5r^2-8r+5=9(1-r)^2\text{すなわち}2r^2-5r+2=0\text{すなわち}(2r-1)(r-2)=0.$$ 範囲内にある$r=1/2$を代入すると$d_1=3/2$、和は3となる。よって $$\displaystyle \boxed{r=\frac12}.$$