5広島大学 2022年 数学 第5問解答・解説

・ $b=\sqrt{2}$ とおくと $1<b<2$ である。指数関数 $b^x$ は増加するので、$b^b<b^2$ である。底 $b$ でさらに累乗して $$b^{b^b}<b^{b^2}=(b^b)^b$$ を得る。したがって、左の式の方が小さい。

・ $f(x)=b^x$ だから $f'(x)=b^x\log b$ である。$b=\sqrt{2}$ より $f(2)=2$、$f'(2)=2\log\sqrt{2}=\log 2$。よって接線は $$y=f'(2)(x-2)+f(2)=(\log 2)x+2-2\log 2$$ であり、$m=\log 2,\ k=2-2\log 2$。

・ $G(x)=f(x)-mx-k$ とおく。(2)の値を代入すると $$\displaystyle G'(x)=\frac{\log 2}{2}(b^x-2).$$ $\log 2>0$、$b>1$、かつ $b^2=2$ なので、$x<2$ では $G'(x)<0$、$x>2$ では $G'(x)>0$。したがって $G$ は $x=2$ で最小となる。また $G(2)=0$ だから、すべての実数 $x$ で $G(x)\geq0$、すなわち $f(x)\geq mx+k$ である。

・ (3)に $x=a_n$ を代入し、$a_{n+1}=f(a_n)$ を用いると $$2-a_{n+1}\leq(\log 2)(2-a_n)$$ となる。さらに $a_1=\sqrt{2}<2$ であり、$f$ は増加関数かつ $f(2)=2$ なので、$a_n<2$ なら $a_{n+1}<2$。よって帰納的に $0<2-a_n$ がすべての $n\geq1$ で成り立つ。問題文の $e=2.718\cdots$ より $0<\log 2<1$ である。不等式を繰り返し用いると $$0<2-a_n\leq(\log 2)^{n-1}(2-\sqrt{2})\longrightarrow0.$$ したがって $a_n\longrightarrow2$。

指数関数の増加性で (1) の大小を比較する。(2) は $f(2)$ と $f'(2)$ から接線を求める。(3) は差 $G=f-mx-k$ の導関数の符号を調べて最小値$0$を示す。(4) は (3) を漸化式に適用し、$0<\log 2<1$ を使って $2-a_n$ を $0$ へはさみうちする。