広島大学 2022年数学第2問解答・解説

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1問題

広島大学2022年度第2問

$a$ を正の実数， $t$ を $0<t<1$ を満たす実数とする。座標平面上の3点 $A(0,a), B(-1,0), C(1,0)$ を頂点とする二等辺三角形の内接円を $S$ とし，その中心が $I(0,t)$ であるとする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) $\angle IBC$ を $\theta$ とおく。 $t$ と $a$ を，それぞれ $\theta$ を用いて表せ。

(2) $a$ を $t$ を用いて表せ。

(3) $\triangle ABC$ の重心が内接円 $S$ の周上にあるとき， $t$ の値を求めよ。

(4) $\triangle ABC$ の垂心が $S$ の周上にあるとき， $t$ の値を求めよ。ただし，三角形の各頂点から対辺，またはその延長に下ろした3本の垂線は1点で交わることが知られており，その交わる点を三角形の垂心と呼ぶ。

(5) $\triangle ABC$ の外心が $S$ の周上にあるとき， $t$ のとり得る値をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $t=\tan\theta$ , $a=\tan2\theta$ （ $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$ ）。(2) $\displaystyle a=\frac{2t}{1-t^2}$ 。(3) $\displaystyle t=\sqrt{\frac23}$ 。(4) $\displaystyle t=\frac1{\sqrt5}$ 。(5) $\displaystyle t=\sqrt2-1,\quad t=\sqrt{\frac{1+2\sqrt2}{7}}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

内接円半径は $t$ 。底角を $\theta$ とすると $t=\tan\theta$ 、 $a=\tan2\theta=2t/(1-t^2)$ 。

重心は $G=(0,a/3)$ 。 $|a/3-t|=t$ と $a>0$ から $a=6t$ 、従って $t=\sqrt{2/3}$ 。垂心は $H=(0,1/a)$ で、 $|1/a-t|=t$ より $1/a=2t$ 、したがって $t=1/\sqrt5$ 。

外心は $O=(0,k)$ , $k=(a^2-1)/(2a)$ 。 $|k-t|=t$ なので $k=0$ または $k=2t$ 。前者は $a=1$ から $t=\sqrt2-1$ 。後者を $a=2t/(1-t^2)$ に代入すると $7t^4-2t^2-1=0$ 。 $0<t<1$ の解は $t=\sqrt{(1+2\sqrt2)/7}$ .

角の二等分線と倍角公式でaをtに結び、各中心の高さと内接円半径との差を円周条件にした。範囲0<t<1とa>0で不可能な分岐を除外した。

この問題で使う考え方

二等分線と倍角公式
中心座標
円周上の距離条件

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