1広島大学 2022年 数学 第1問解答・解説

直線 $L_a$ の方程式は $y=a(x+1)$ である。曲線 $C$ との交点の $x$ 座標は $$x^3+x^2=a(x+1),\qquad (x+1)(x^2-a)=0$$ を満たす。したがって常に $x=-1$ が交点であり、$a\geq 0$ なら $x=\pm\sqrt a$ も交点となる。

(1) $a<0$ では交点は $x=-1$ のみである。$a=0$ では $x=-1,0$ の2点である。$a>0$ では、$a=1$ のとき $-\sqrt a=-1$ となって交点は $x=-1,1$ の2点、$a\ne1$ のときは3点である。よって $a=0,1$。

(2) 曲線と直線の差を $D_a(x)=x^3+x^2-a(x+1)=(x+1)(x^2-a)$ とする。$a=0$ では $-1<x<0$ で $D_0(x)>0$ だから、囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \int_{-1}^{0}x^2(x+1)\,dx=\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0}=\frac{1}{12}.$$ $a=1$ では $D_1(x)=(x+1)^2(x-1)$ は $-1<x<1$ で負である。よって面積は $$\displaystyle \int_{-1}^{1}(x+1)^2(1-x)\,dx=\int_{-1}^{1}(-x^3-x^2+x+1)\,dx=\frac{4}{3}.$$

(3) ちょうど3つの交点をもつ条件は $a>0,\ a\ne1$ である。まず $0<a<1$ とし、$r=\sqrt a$ とおくと、交点の $x$ 座標は $-1,-r,r$ の順である。2つの部分の面積を $$\displaystyle A_1=\int_{-1}^{-r}(x+1)(x^2-a)\,dx,\qquad A_2=-\int_{-r}^{r}(x+1)(x^2-a)\,dx$$ とおく。$-1<x<-r$ では被積分関数は正で、$0<(x+1)(x^2-a)<(x+1)x^2$ だから $$\displaystyle 0<A_1<\int_{-1}^{0}(x+1)x^2\,dx=\frac{1}{12}.$$ また、奇関数の項の積分は対称区間で $0$ となるので $$\displaystyle A_2=-\int_{-r}^{r}(x^3+x^2-ax-a)\,dx=\frac{4r^3}{3}=\frac{4a^{3/2}}{3}<\frac{4}{3}.$$ したがって $\displaystyle |A_1-A_2|<\frac{4}{3}<\frac{3}{2}$ であり、この範囲に条件を満たす $a$ はない。

次に $a>1$ とする。交点の $x$ 座標は $-r,-1,r$ の順である。左と右の部分の面積をそれぞれ $A_L,A_R$ とすると、 $$\displaystyle A_L=\int_{-r}^{-1}D_a(x)\,dx,\qquad A_R=-\int_{-1}^{r}D_a(x)\,dx.$$ よって $$\displaystyle A_R-A_L=-\int_{-r}^{r}(x^3+x^2-ax-a)\,dx=\frac{4r^3}{3}=\frac{4a^{3/2}}{3}>0.$$ 従って面積差の絶対値は $4a^{3/2}/3$ であり、これが $3/2$ となる条件は $$\displaystyle \frac{4a^{3/2}}{3}=\frac{3}{2}\quad\text{すなわち}\quad a^{3/2}=\frac{9}{8}\quad\text{すなわち}\quad a=\left(\frac{9}{8}\right)^{2/3}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{4}.$$ この値は $1$ より大きく、$a>1$ の場合に該当する。