4京都府立医科大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1) 各因子の添字を逆順にすると，$$\displaystyle f_n(n-1-x)=\prod\limits _{k=0}^{n-1}(n-1-x-k)=(-1)^n\prod\limits _{j=0}^{n-1}(x-j)=f_n(x)$$ となる。ここで $n$ は偶数なので $(-1)^n=1$ である。したがって，$x$ と $n-1-x$ における関数値は等しく，グラフは直線 $\displaystyle x=\dfrac{n-1}{2}$ に関して対称である。

(2) $x=-1$ では $f_n(-1)=(-1)^n n!=n!$，また $x=n$ では $f_n(n)=n!$ である。これら以外に解がないことを示す。

まず $x<0$ とし，$t=-x>0$ とおくと $f_n(x)=t(t+1)\cdots(t+n-1)$ である。この積は $t>0$ で狭義に増加する。実際，$t$ が大きくなると正の各因子がすべて大きくなる。$t=1$ で積は $n!$ となるので，この範囲の解は $t=1$，すなわち $x=-1$ だけである。同様に $x>n-1$ とし $t=x-(n-1)>0$ とおけば $f_n(x)=t(t+1)\cdots(t+n-1)$ となるから，この範囲の解は $t=1$，すなわち $x=n$ だけである。

残る範囲では，ある $m=0,1,\ldots,n-2$ に対し $m<x<m+1$ と書ける。$x=m+t\ (0<t<1)$ とすると，$$\displaystyle |f_n(x)|=\prod\limits _{j=0}^{m}(j+t)\prod\limits _{\ell=1}^{n-1-m}(\ell-t)<(m+1)!(n-1-m)!=\frac{n!}{\binom{n}{m+1}}<n!.$$ 最後の不等号は $1\leq m+1\leq n-1$ より $\displaystyle \binom{n}{m+1}>1$ であることによる。整数 $x=0,1,\ldots,n-1$ では $f_n(x)=0$ である。よって $f_n(x)=n!$ の実数解は $x=-1,n$ のちょうど2つである。したがって $\alpha=-1,\ \beta=n$ である。

(3) $P_n(t)=t(t+1)\cdots(t+n-1)\ (0\leq t\leq1)$ とおく。$-1\le x\le0$ の範囲 で $x=-t$，$n-1\le x\le n$ の範囲 で $x=n-1+t$ と置換すると，どちらも $|f_n(x)|=P_n(t)$ となる。また各因子は $j+t\leq j+1$ だから $P_n(t)\leq n!$ であり，両端の区間の積分の和は $2n!$ 以下である。

$m\le x\le m+1$ の範囲（$m=0,1,\ldots,n-2$） では (2) の評価から，$$\displaystyle \int_m^{m+1}|f_n(x)|\,dx\leq\frac{n!}{\binom{n}{m+1}}.$$ よって $n\geq4$ なら，二項係数の対称性と増加性から，$$\displaystyle \sum\limits _{r=1}^{n-1}\frac1{\binom nr}=\frac2n+\sum\limits _{r=2}^{n-2}\frac1{\binom nr}\leq\frac2n+\frac{2(n-3)}{n(n-1)}<\frac4n.$$ したがって，$$\displaystyle 0\leq\frac1{(n+1)!}\int_{-1}^{n}|f_n(x)|\,dx\leq\frac{2+4/n}{n+1}\longrightarrow0.$$ 求める極限は $0$ である。