4広島大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) $i=0$ なら試行2後の袋には赤玉3個、白玉4個が残る。$i=1$ なら赤玉2個、白玉5個が残る。いずれも計7個なので $$\displaystyle p_0=\frac{\binom32}{\binom72}=\frac17,\qquad p_1=\frac{\binom22}{\binom72}=\frac1{21}.$$

(2) 試行1で赤玉を箱Aに入れる確率は $q_A=3/(n+8)$。箱Aが白となる確率は $(n+5)/(n+8)$、赤となる確率は $3/(n+8)$ だから、全確率の公式により $$\displaystyle q_C=\frac{n+5}{n+8}p_0+\frac3{n+8}p_1 =\frac{n+6}{7(n+8)}.$$

(3) $X$ のもとでは箱Dが赤で、残りは赤2個・白$n+5$個。箱Eが全て白となる確率は $$\displaystyle \frac{\binom{n+5}{n}}{\binom{n+7}{n}}=\frac{42}{(n+6)(n+7)}.$$ 従って $$\displaystyle P(X\cap Y)=\frac3{n+8}\cdot\frac{42}{(n+6)(n+7)}=\frac{126}{(n+8)(n+6)(n+7)}.$$ $Y\cap Z$ は箱Dの色で分ける。Dが赤ならEが全て白の後、残りは赤2・白5で、Fが赤2個となる確率は $1/21$。この枝の確率は $6/((n+8)(n+6)(n+7))$。Dが白なら、Eが白$n$個を引く確率は $$\displaystyle \frac{\binom{n+4}{n}}{\binom{n+7}{n}}=\frac{210}{(n+5)(n+6)(n+7)}.$$ その後は赤3・白4が残り、Fが赤2個となる確率は $1/7$。この枝の確率は $30/((n+8)(n+6)(n+7))$。ゆえに $$\displaystyle P(Y\cap Z)=\frac{6+30}{(n+8)(n+6)(n+7)}=\frac{36}{(n+8)(n+6)(n+7)}.$$

(4) Dが赤・白の場合に分けて $$\displaystyle P(Y)=\frac3{n+8}\frac{42}{(n+6)(n+7)} +\frac{n+5}{n+8}\frac{210}{(n+5)(n+6)(n+7)} =\frac{336}{(n+8)(n+6)(n+7)}>0.$$ したがって $$\displaystyle P_Y(X)=\frac{126}{336}=\frac38,\qquad P_Y(Z)=\frac{36}{336}=\frac3{28}.$$