2和歌山県立医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1) $z=x+iy\ (x,y\text{ は実数})$ とおく。ただし $z=0$ では式が定義されない。$$\displaystyle z+\frac1z=x+iy+\frac{x-iy}{x^2+y^2}=x+\frac{x}{x^2+y^2}+i\left(y-\frac{y}{x^2+y^2}\right).$$ 分母は正なので、これが実数となる条件は $\displaystyle y\left(1-\frac1{x^2+y^2}\right)=0$、すなわち $y=0$ または $x^2+y^2=1$ である。したがって求める範囲は、複素数平面上の実軸から原点を除いた部分と単位円周 $|z|=1$ の和集合である。原点は含まれず、実軸と円周の交点 $z=1,-1$ は含まれる。

(2) $z=t$（$t\text{ は0でない実数}$）とすれば $w=t+1/t$ も実数である。$t>0$ のとき $\displaystyle w-2=\frac{(t-1)^2}{t}\ge0$ だから $w\ge2$ であり、等号は $t=1$ のとき成り立つ。$t<0$ なら $u=-t>0$ とおいて $w=-(u+1/u)\le-2$ となり、等号は $t=-1$ のとき成り立つ。逆に $w\ge2$ または $w\le-2$ なら、方程式 $t^2-wt+1=0$ の解 $\displaystyle t=\frac{w\pm\sqrt{w^2-4}}2$ は実数で、前者では正、後者では負である。よって範囲は実軸上の $w\le-2\ \text{または}\ w\ge2$ である。

(3) $z=0$ は解でないので、両辺に $z$ を掛けると $z^2-2\cos\theta\,z+1=0$ を得る。解の公式より $$z=\cos\theta\pm\sqrt{\cos^2\theta-1}=\cos\theta\pm i|\sin\theta|.$$ したがって二つの値をまとめて $z=\cos\theta\pm i\sin\theta$ と書ける。$\sin\theta=0$ のときは二つの値が一致する。　 　 　 (4) $z=0$ は式に現れる逆数のため除き、$u=z+1/z$、$s_k=z^k+z^{-k}$ とおく。$u s_k=s_{k+1}+s_{k-1}$、$s_0=2$、$s_1=u$ だから、順に $s_2=u^2-2$、$s_3=u^3-3u$、$s_4=u^4-4u^2+2$、$s_5=u^5-5u^3+5u$ となる。与式は $u=s_5$ なので $$u(u^2-1)(u^2-4)=0,$$ すなわち $u=0,1,-1,2,-2$ である。各値について $z^2-uz+1=0$ を解くと、$u=0$ から $z=\pm i$、$u=1$ から $z=(1\pm i\sqrt3)/2$、$u=-1$ から $z=(-1\pm i\sqrt3)/2$、$u=2$ から $z=1$、$u=-2$ から $z=-1$ を得る。異なる $u$ に同じ $z$ が対応することはなく、$u=\pm2$ のときも重解はそれぞれ一つの複素数である。したがって求める個数は $2+2+2+1+1=8$ 個である。