1和歌山県立医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

各式を整数の積の条件に直して解く。

(1)　 $xy+2=3(x-y)$ より$$xy-3x+3y+2=0,\qquad (x+3)(y-3)=-11.$$ここで $x+3,y-3$ は整数であり、積が $-11$ なので$$(x+3,y-3)=(-11,1),(-1,11),(1,-11),(11,-1).$$したがって$$(x,y)=(-14,4),(-4,14),(-2,-8),(8,2).$$実際、最初の2組では $xy+2=3(x-y)=-54$、後の2組では $xy+2=3(x-y)=18$ となる。積が $-11$ となる整数因数対をすべて挙げたので、これ以外に解はない。

(2)　 差は $|x-y|$ とする。$u=x+789,\ v=y-789$ とおくと、与式は$$xy-789x+789y+456=0,\qquad uv=xy-789x+789y-789^2=-622977$$となる。また $x-y=u-v-1578$ である。$uv<0$ であるから $u,v$ は異符号である。もし $u<0<v$ なら $x-y<-1578$ となって条件に反するので、$u>0>v$ である。そこで $p=u,\ q=-v$ とおくと、$p,q$ は正の整数で$$pq=622977,\qquad s:=p+q=x-y+1578,\qquad 1568\leq s\leq1588.$$さらに $(p-q)^2=s^2-4pq=s^2-2491908\geq0$ だから、$s\leq1578$ では $s^2\leq1578^2=2490084<2491908$ となり不可能である。よって $1579\leq s\leq1588$。この範囲で平方数となる場合を調べると$$\begin{array}{c|r|l}s&s^2-2491908&\text{平方数との比較}\\\hline1579&1333&36^2<1333<37^2\\1580&4492&67^2<4492<68^2\\1581&7653&87^2<7653<88^2\\1582&10816&104^2=10816\\1583&13981&118^2<13981<119^2\\1584&17148&130^2<17148<131^2\\1585&20317&142^2<20317<143^2\\1586&23488&153^2<23488<154^2\\1587&26661&163^2<26661<164^2\\1588&29836&172^2<29836<173^2\end{array}$$したがって $s=1582$ であり、$(p-q)^2=104^2$ より $(p,q)=(843,739),(739,843)$。前者から $(x,y)=(p-789,789-q)=(54,50)$、後者から $(x,y)=(-50,-54)$ を得る。どちらも $|x-y|=4\leq10$ で、$xy+456=3156=789(x-y)$ を満たす。平方数となる場合を尽くしたので、これらがすべてである。