4和歌山県立医科大学 2019年 数学 第4問解答・解説

まず漸化式を順に用いると、$$\displaystyle a_2=\frac{1+3}{1-3}=-2,\quad a_3=\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3},\quad a_4=\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{2},\quad a_5=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3=a_1.$$これらの値はいずれも1ではないので漸化式の分母は0にならず、同じ漸化式から以後も$\displaystyle 3,-2,-\frac{1}{3},\frac{1}{2}$ の4項が繰り返される。したがって、$$\displaystyle S_n=\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac{a_{4j+1}}{2^{4j+1}}+\frac{a_{4j+2}}{2^{4j+2}}+\frac{a_{4j+3}}{2^{4j+3}}+\frac{a_{4j+4}}{2^{4j+4}}\right)=\frac{95}{96}\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac{1}{16}\right)^j=\frac{19}{18}\left(1-\frac{1}{16^n}\right),$$ゆえに$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac{19}{18}$。次に、$n$を4で割った余りが0,1,2,3のとき、$n^3$を4で割った余りはそれぞれ0,1,0,3である。数列$\{a_n\}$の周期と合わせると、$\{b_n\}$は$\displaystyle 3,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{2}$を繰り返す。よって$$\displaystyle c_1=3,\quad c_2=\frac{3}{2},\quad c_3=-\frac{1}{2},\quad c_4=-\frac{1}{4},\quad c_5=-\frac{3}{4}.$$また、$\displaystyle b_1b_2b_3b_4=-\frac{1}{4}$であり、各4項の積は同じなので、$j=0,1,2,\ldots$に対して$$\displaystyle (c_{4j+1},c_{4j+2},c_{4j+3},c_{4j+4})=\left(-\frac{1}{4}\right)^j\left(3,\frac{3}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right),\quad j=0,1,2,\ldots$$ となる。従って$$\displaystyle T_n=\sum\limits _{j=0}^{n-1}\frac{15}{4}\left(-\frac{1}{4}\right)^j=3\left(1-\left(-\frac{1}{4}\right)^n\right),$$ここで$\displaystyle \left|-\frac{1}{4}\right|<1$だから、$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}T_n=3$。