3和歌山県立医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

$P=(x,x^2)$、$Q=(1,3)$ であるから、距離を $D(x)$ とおくと、その二乗は $$D(x)^2=(x-1)^2+(x^2-3)^2=x^4-5x^2-2x+10=:f(x)\qquad(-2\le x\le2)$$ となる。$f(x)$ は二つの平方の和なので $f(x)\ge0$ であり、$D(x)=\sqrt{f(x)}$ は $f(x)$ と同じ $x$ で最大・最小となる。

$f'(x)=4x^3-10x-2=2q(x)$、ただし $q(x)=2x^3-5x-1$ とおく。符号を調べると $$\displaystyle q\left(-\frac32\right)=-\frac14<0,\quad q\left(-\frac75\right)=\frac{64}{125}>0,\quad q\left(-\frac14\right)=\frac7{32}>0,\quad q\left(-\frac15\right)=-\frac2{125}<0,\quad q\left(\frac53\right)=-\frac2{27}<0,\quad q\left(\frac{17}{10}\right)=\frac{163}{500}>0.$$ $q$ は連続な3次式なので、符号の変化から、$\displaystyle -\frac32<\alpha<-\frac75$、$\displaystyle -\frac14<\beta<-\frac15$、$\displaystyle \frac53<\gamma<\frac{17}{10}$ にそれぞれ少なくとも1つの解をもつ。これらは互いに異なる3つの解であり、3次式の解は高々3つだから、これがすべての解である。3つの異なる解をもつため $q(x)=2(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ と因数分解できる。したがって $q(x)$ の符号は $\alpha$ の左で負、$\alpha$ と $\beta$ の間で正、$\beta$ と $\gamma$ の間で負、$\gamma$ の右で正となる。したがって $f$ はこの順に減少、増加、減少、増加する。

よって最大値の候補は $f(-2),f(2),f(\beta)$ である。$q(\beta)=0$ より $2\beta^3=5\beta+1$ であるから、 $$\displaystyle f(\beta)-10=-\frac{\beta(5\beta+3)}2>0$$ となる。実際、$\displaystyle -\frac14<\beta<-\frac15$ より $\beta<0$、$5\beta+3>0$ である。また $f(-2)=10,\ f(2)=2$ だから、最大となるのは $x=\beta$ のときである。特に $\displaystyle \beta>-\frac14>-\frac12$ であり、$\displaystyle -\frac14<\beta<-\frac15$ から小数第1位まででは $-0.2$ となる。

最小値の候補は $f(\alpha)$ と $f(\gamma)$ である。$q(t)=0$ ならば $t^4=(5t^2+t)/2$ なので、 $$\displaystyle f(t)=10-\frac{5t^2+3t}{2}.$$ したがって、$\displaystyle -\frac32<\alpha<-\frac75$ から $$\displaystyle f(\alpha)>10-\frac52\left(\frac32\right)^2+\frac32\cdot\frac75=\frac{259}{40},$$ また $\displaystyle \gamma>\frac53>0$ から $$\displaystyle f(\gamma)<10-\frac52\left(\frac53\right)^2-\frac32\cdot\frac53=\frac59.$$ よって $f(\gamma)<f(\alpha)$ であり、最小となるのは $x=\gamma$ のときである。特に $\displaystyle \gamma>\frac53>\frac32$ であり、$\displaystyle \frac53<\gamma<\frac{17}{10}$ から小数第1位まででは $1.7$ となる。以上より、求める $x$ 座標は最大時が $-0.2$、最小時が $1.7$ である。