2東邦大学 2015年 数学 第2問解答・解説

初項を $a$、公差を $d$ とする。条件より $$2a+36d=-240,\qquad 3(a+19d)=-318.$$ すなわち $a+18d=-120$、$a+19d=-106$ なので、差を取って $d=14$、さらに $a=-372$。 $$\displaystyle S_n=\frac n2\{2a+(n-1)d\}=\frac n2(14n-758)=7n^2-379n.$$ この二次式の軸は $\displaystyle n=\frac{379}{14}=27+\frac1{14}$。正整数の範囲では $n=27,28$ を比べればよく、 $$S_{27}=-5130,\qquad S_{28}=-5124.$$ したがって最小となるのは $n=27$、公差は $14$。

等差数列の初項を $a$、公差を $d$ とする。$a_{15}+a_{23}=(a+14d)+(a+22d)=2a+36d=-240$ より $a+18d=-120$。連続する3項の和は中央項の3倍なので、$a_{19}+a_{20}+a_{21}=3a_{20}=3(a+19d)=-318$、ゆえに $a+19d=-106$。差を取って $d=14$、したがって $a=-372$。部分和は $\displaystyle S_n=\frac n2(2a+(n-1)d)=\frac n2(14n-758)=7n^2-379n$。頂点の軸は $\displaystyle n=\frac{379}{14}=27+\frac1{14}$。$n$ は正整数なので最小候補は27と28であり、$S_{27}=-5130,\ S_{28}=-5124$。よって最小となるのは $n=27$。