東邦大学 2015年数学第14問解答・解説

指数関数・対数関数積分法

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1問題

東邦大学2015年度第14問

定積分 $\displaystyle \int_{-2}^{2}\frac{x^{2}\cdot2^{-x}}{2^{x}+2^{-x}}\,dx$ の値は， $\boxed{\text{セ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \frac83\quad$ （ $\quad$ セ $=8\quad$ 、 $\quad$ ソ $=3\quad$ 。）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

被積分関数を $g(x)$ とすると、分子分母に $2^x$ を掛けて $\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{1+2^{2x}}=\frac{x^2}{1+4^x}.$ したがって $\displaystyle g(-x)=\frac{x^2}{1+4^{-x}}=\frac{x^2 4^x}{1+4^x},\qquad g(x)+g(-x)=x^2.$ 積分区間が原点対称なので $\displaystyle \int_{-2}^{2}g(x)\,dx=\int_0^2\{g(x)+g(-x)\}\,dx=\int_0^2x^2\,dx=\frac83.$ よって既約分数欄は分子が8、分母が3である。

この問題で使う考え方

対称区間でg(x)+g(−x)を積分
指数の変形

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