III横浜市立大学 2015年 数学 第III問解答・解説

(1) 左辺を $L$ とし、$u=2/\sqrt5$ とおくと $$L=5^{1/6}\bigl((1+u)^{1/3}-(1-u)^{1/3}\bigr).$$ 与えられた近似式に $a=1/3$ を入れると $$\displaystyle (1+x)^{1/3}\doteq 1+\frac{x}{3}-\frac{x^2}{9}+\frac{5x^3}{81}.$$ これを $x=u$ と $x=-u$ に適用して差を取ると $$\displaystyle (1+u)^{1/3}-(1-u)^{1/3}\doteq \frac{2u}{3}+\frac{10u^3}{81}.$$ $p=5^{-1/3}\doteq0.6$ とすると $u=2p^{3/2}\doteq0.9295$、$5^{1/6}=p^{-1/2}\doteq1.291$ である。よって $$\displaystyle L\doteq1.291\left(\frac{2(0.9295)}{3}+\frac{10(0.9295)^3}{81}\right)\doteq0.928\quad(\text{約 }0.93).$$

(2) $r=\sqrt[3]{\sqrt5+2}$、$s=\sqrt[3]{\sqrt5-2}$ とおくと $rs=1$。$d=r-s$ とおけば $$d^3=r^3-s^3-3rs(r-s)=4-3d,$$ すなわち $d^3+3d-4=0$。因数分解すると $$(d-1)(d^2+d+4)=0.$$ $d^2+d+4=(d+1/2)^2+15/4>0$ より $d=1$。これは求める等式である。