4岐阜大学 2015年 数学 第4問解答・解説

(1) $f'(x)=-e^{-x}$ だから、点 $(t,e^{-t})$ における接線は $$y-e^{-t}=-e^{-t}(x-t),\qquad y=e^{-t}(1+t-x)$$ である。$y=0$ とすると $x=t+1$、$x=0$ とすると $y=(t+1)e^{-t}$ なので $$P=(t+1,0),\qquad Q=(0,(t+1)e^{-t}).$$

(2) $t>0$ より両座標軸との切片は正であり、三角形の面積は $$\displaystyle S=\frac12(t+1)^2e^{-t}.$$ 微分すると $$\displaystyle S'=\frac12e^{-t}(t+1)(1-t).$$ 従って $0<t<1$ では増加し、$t>1$ では減少するから、最大値は $t=1$ のときの $S=2/e$ である。このとき $P=(2,0)$、$Q=(0,2/e)$ であるから、直線 $\ell$ は $$\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2/e}=1,\qquad x+ey=2$$ である。また $t=1$ の接線は曲線 $C$ に接するので、囲まれる図形は $0\le x\le1$ で曲線 $y=e^{-x}$ と直線 $y=(2-x)/e$ の間にある。

(3) $y$ に垂直な断面で考える。$1/e\le y\le2/e$ の範囲では、直線上の $x=2-ey$ から曲線上の $x=-\ln y$ までが図形なので、回転断面は内半径 $2-ey$、外半径 $-\ln y$ の円環である。$2/e\le y\le1$ では、$y$ 軸から曲線までの部分が図形なので、半径 $-\ln y$ の円である。従って $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_{1/e}^{2/e}\bigl\{(\ln y)^2-(2-ey)^2\bigr\}\,dy +\pi\int_{2/e}^{1}(\ln y)^2\,dy\\ &=\pi\left\{\int_{1/e}^{1}(\ln y)^2\,dy-\int_{1/e}^{2/e}(2-ey)^2\,dy\right\}. \end{aligned}$$ 部分積分により $$\displaystyle \int(\ln y)^2\,dy=y\{(\ln y)^2-2\ln y+2\},$$ したがって第一の積分は $2-5/e$ である。また $u=2-ey$ と置換すると第二の積分は $$\displaystyle \int_{1/e}^{2/e}(2-ey)^2\,dy=\frac1e\int_0^1u^2\,du=\frac1{3e}.$$ よって $$\displaystyle V=\pi\left(2-\frac5e-\frac1{3e}\right)=\pi\left(2-\frac{16}{3e}\right).$$