2岐阜大学 2015年 数学 第2問解答・解説

平方完成すると $$f(x)=(x-p)^2+q-p^2.$$

(1) 最小値が $-4$ なので $q-p^2=-4$、したがって $$q=p^2-4.$$

(2) $f(x)=0$ は $(x-p)^2-4=0$ と同値だから $$x=p-2,\qquad x=p+2.$$

(3) $g(x)=|f(x)|\ge0$ である。根 $p-2$ が $-1\le p-2\le1$ を満たす条件は $1\le p\le3$。もう一つの根 $p+2$ は $p>0$ なら常に区間の右外にある。したがって $1\le p\le3$ では $g$ の最小値は $0$ で、それを与えるのは $x=p-2$。

$0<p<1$ のときは $p-2<-1<1<p+2$ なので、区間内で $f(x)<0$ となり、$g(x)=4-(x-p)^2$。端点で $$g(-1)=4-(p+1)^2,\qquad g(1)=4-(1-p)^2.$$ $0<p<1$ なら $p+1>1-p>0$ だから $g(-1)<g(1)$。またこの二次関数は頂点 $x=p$ で最大となるため、区間内の最小値は端点で生じ、$x=-1$ が最小を与える。

$p>3$ のとき、区間全体で $x<p-2$ だから $f(x)>0$ で $g(x)=f(x)=(p-x)^2-4$。$x$ が $-1\le x\le1$ の範囲内で増加すると正の数 $p-x$ は減少するため、$g(x)$ は減少し、最小は $x=1$ で与えられる。以上より $$x=\begin{cases} -1,&0<p<1,\\ p-2,&1\le p\le3,\\ 1,&p>3. \end{cases}$$