1北海道大学 2008年 数学 第1問解答・解説

区間を分けて最大値を調べる。$0\le x\le\alpha$ では $f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$ であり、二次関数の軸 $x=(\alpha+\beta)/2$ は $\alpha$ より右にあるので、最大値は $x=0$ における $\alpha\beta$ である。$\alpha\le x\le\beta$ では $f(x)=-(x-\alpha)(x-\beta)=-(x-(\alpha+\beta)/2)^2+(\beta-\alpha)^2/4$ だから、最大値は $(\beta-\alpha)^2/4$ である。$\beta\le x\le2$ では軸が $\beta$ より左にあるため、最大値は $x=2$ における $(2-\alpha)(2-\beta)$ である。各区間で最大となる点はそれぞれ一つであり、接続点の値は0である。よって最大値をとる点がちょうど3つとなるには、$\alpha\beta=(\beta-\alpha)^2/4=(2-\alpha)(2-\beta)=M$ が必要十分である。

$\alpha\beta=(2-\alpha)(2-\beta)$ より $\alpha+\beta=2$。また $(\beta-\alpha)^2/4=\alpha\beta$ に $\alpha+\beta=2$ を用いると $(\beta-\alpha)^2/4=(4-(\beta-\alpha)^2)/4$、したがって $(\beta-\alpha)^2=2$。$\alpha<\beta$ より $\beta-\alpha=\sqrt2$ なので、$\alpha=1-\sqrt2/2,\ \beta=1+\sqrt2/2$、$M=\alpha\beta=1/2$。

以降 $a=1-1/\sqrt2,\ b=1+1/\sqrt2$ とおく。$x=0$ は解でない。$m<0$ では $x>0$ に対して $f(x)\ge0>mx$ だから解はなく、$m=0$ では $x=a,b$ の2解である。

$m>0$ とし、外側の区間では $f(x)/x=h(x)=x-2+1/(2x)$ である。$0<x_1<x_2$ なら $h(x_2)-h(x_1)=(x_2-x_1)(1-1/(2x_1x_2))$。左区間では $x_1x_2<a^2<1/2$ なので $h(x_2)<h(x_1)$ となり、$h$ は減少する。また、$h(x)$ は $x\to0+$ で無限大、$h(a)=0$ となる。したがって左区間には任意の $m>0$ に対して解が1つある。右区間では $x_1x_2\ge b^2>1/2$ なので $h(x_2)>h(x_1)$ となり、$h$ は増加する。また、$h(b)=0,\ h(2)=1/4$。よって右区間には $0<m\le1/4$ のとき解が1つあり、$m>1/4$ のとき解はない。

中央区間では改めて $h(x)=f(x)/x=2-(x+1/(2x))$ とおくと、$x+1/(2x)-\sqrt2=(x-1/\sqrt2)^2/x\ge0$。等号は $x=1/\sqrt2$ で成立し、この点は $a<x<b$ を満たす。また $a\le x_1<x_2\le1/\sqrt2$ では $h(x_2)-h(x_1)=(x_2-x_1)(1/(2x_1x_2)-1)>0$、$1/\sqrt2\le x_1<x_2\le b$ では同じ差が負となる。したがって中央区間では $0<m<2-\sqrt2$ のとき解が2つ、$m=2-\sqrt2$ のとき1つ、$m>2-\sqrt2$ のとき0である。

$1/4<2-\sqrt2$ だから、$0<m\le1/4$ では解が合計4つ、$1/4<m<2-\sqrt2$ では3つ、$m=2-\sqrt2$ では2つ、$m>2-\sqrt2$ では1つとなる。したがって求める範囲は $\displaystyle \frac14<m<2-\sqrt2$ である。