3岐阜大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) 共有点では $x^2=-2mx+3m^2$ なので $$(x-m)(x+3m)=0.$$ それぞれの $y=x^2$ を求めると $$\boxed{(-3m,9m^2),\quad(m,m^2)}.$$

(3) 境界の折れ点・交点を $$\displaystyle A=(-3m,9m^2),\quad O=(0,0),\quad C=\left(\frac{3m}{4},\frac{3m^2}{2}\right),\quad E=(m,m^2),\quad F=(2m,4m^2)$$ とおく。$2y-x$ は直線境界上で一次式、放物線境界上では $2x^2-x$ である。放物線の該当部分は $-3m\le x\le0$ の範囲 と $m\le x\le2m$ の範囲に限られ、$m>1$ より前者では $2x^2-x$ は減少、後者では増加する。直線境界上でも端点で極値となる。折れ点での値は $$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} &A&O&C&E&F\\\hline 2y-x&18m^2+3m&0&3m^2-\frac34m&2m^2-m&8m^2-2m \end{array}$$ である。$m>1$ のもとで最大は $A$、最小は $O$ となる。従って $$\displaystyle \boxed{\max\limits _D(2y-x)=18m^2+3m,\qquad \min\limits _D(2y-x)=0}.$$

(4) 直線境界上で $2y-6mx$ は一次式、放物線境界上では $2x^2-6mx$ となる。放物線境界の区間 $-3m\le x\le0$ の範囲では導関数 $4x-6m<0$ なので最大は $A$。区間 $m\le x\le2m$ の範囲では上に凸で、最小となるのは頂点 $\displaystyle x=\frac{3m}{2}$ であり、この点は領域内にある。そこでは $\displaystyle y=x^2=\frac{9m^2}{4}$ である。直線境界上の端点と放物線の端点での値は $$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} &A&O&C&E&F\\\hline 2y-6mx&36m^2&0&-\frac32m^2&-4m^2&-4m^2 \end{array}$$ なので全体の最大は $A$ であり、頂点での値 $\displaystyle -\frac92m^2$ は全ての境界値より小さい。よって $$\displaystyle \boxed{\max\limits _D(2y-6mx)=36m^2,\qquad \min\limits _D(2y-6mx)=-\frac92m^2}.$$