1岡山大学 2007年 数学 第1問解答・解説

各対戦では，13枚から異なる2枚が順に引かれる。どちらの対戦者が先に引く場合も，順序つきの組は全部で $13\cdot12$ 通りあり，各人が大きい数を引く組は $13\cdot12/2$ 通りである。札は毎回戻されるので，過去の結果を条件としても，各対戦者がその対戦に勝つ確率は $\displaystyle \frac12$ である。

(1) 最初の対戦でAが勝つ確率は，対称性より $\boxed{1/2}$。

(2) 最初にAが勝つ場合，2回目はAとCが対戦する。2回目もAが勝てば，3回目はAとBが対戦し，Aが3回目に勝ったときに限り4回目にも出場する。一方，2回目にAが負ければ，Aは3回目を休み，4回目には必ず出場する。したがって $$\displaystyle P(\text{4回目にA出場}\mid\text{1回目にA勝利})=\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot1=\frac34.$$ 最初にBが勝つ場合，Aは2回目を休み，3回目に出場する。4回目に出場するのはAが3回目に勝つ場合であるから，その条件付き確率は $\displaystyle \frac12$。よって $$\displaystyle P(\text{4回目にA出場})=\frac12\cdot\frac34+\frac12\cdot\frac12=\boxed{\frac58}.$$

(3) $i$ 回目の勝者を $W_i$ とする。直前の対戦の勝者は次の対戦にも出場するため，連勝が初めて生じるのは，ある $i\ge2$ で $W_i=W_{i-1}$ となる場合である。各回の勝者は，その時点の2人のどちらにも確率 $\displaystyle \frac12$ で決まる。

1回目の勝者を $X$（AまたはB）とする。2回目から先でそれまで連勝がないなら，2回目の勝者はC，3回目の勝者は $X$ 以外のA・Bの一方，4回目の勝者は再び $X$ となる。したがって，初めて連勝が起こる回ごとに，Aがその連勝を達成する確率は次の通りである。 $$\displaystyle \begin{array}{c|c} \text{初めて連勝が起こる回}&\text{その連勝をAが達成する確率}\\\hline 2&\frac12\cdot\frac12=\frac14\\ 3&0\\ 4&\frac12\cdot\left(\frac12\right)^2\cdot\frac12=\frac1{16}\\ 5&\frac12\cdot\left(\frac12\right)^3\cdot\frac12=\frac1{32} \end{array}$$ 3回目に初めて連勝が起こるときは，2回目まで連勝がなく2回目の勝者がCなので，連勝するのはCであり，Aではない。上の各事象は初めて連勝が起こる回が異なるため互いに重ならない。よって求める確率は $$\displaystyle \frac14+0+\frac1{16}+\frac1{32}=\boxed{\frac{11}{32}}.$$

各対戦の勝者を条件付きで確率1/2ずつとし、対戦者の推移を追う。 (2) は最初の勝者で場合分けし、(3) は初めて同一人物が連続して勝つ回ごとに場合分けする。