岡山大学 2007年数学第4問解答・解説

三角関数微分法積分法

このページには広告が含まれます。

1問題

岡山大学2007年度第4問

関数 $\displaystyle f(x)=x\sin\frac{1}{x}$ ( $x>0$ ) について，次の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle x\geq\frac{3}{4\pi}$ ならば， $f'(x)>0$ であることを示せ。

(2) $\displaystyle b\geq a>0,\quad b\geq\frac{2}{\pi}$ のとき， $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\leq(b-a)f(b)\leq b-a$ が成り立つことを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$f'(x)>0 for x≥3/(4π)$
(2)
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx ≤ (b−a)f(b) ≤ b−a under b≥a>0, b≥2/π$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

独立結果: (1) $t=1/x$ , $g(t)=\sin t-t\cos t$ とおくと、 $g'(t)=t\sin t$ 。区間 $0<t\le\pi$ で正、 $\pi\le t\le4\pi/3$ では減少しながらも $g(4\pi/3)=2\pi/3-\sqrt3/2>0$ 。従って $f'(x)>0$ 。 (2) $x\ge3/(4\pi)$ では増加性を用い、それ未満では $f(x)\le x<3/(4\pi)<2/\pi\le f(b)$ 。これを積分して第一不等式を得る。 $\sin u\le u$ により $f(b)\le1$ 、従って第二不等式も成立する。

採用結果との照合: 問1・問2とも一致。高校数学IIの三角関数、数学IIIの微分・積分の範囲であり、計算・論証・記法は妥当。

actual model identity: UNVERIFIED.

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。