2鹿児島大学 2026年 数学 第2問解答・解説

袋には白球8個、赤球2個があり、戻さず3回取り出す。 解答

(1) 1回目に白、2回目に赤となる確率は $$\displaystyle \frac{8}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{8}{45}.$$

(2),(3) 球の並び順を一様に並べたとき、どの位置にも赤球が入る確率は同じである。したがって、2個の赤球のうち指定した位置に赤球がある確率は全体の赤球の割合 $2/10$ と等しい。よって $$\displaystyle \Pr(\text{2回目が赤})=\Pr(\text{3回目が赤})=\frac{2}{10}=\frac15.$$

(4) 第 $i$ 回目に白球が出たとき1、赤球が出たとき0となる確率変数を $X_i$ とする。各回について $\mathbb E[X_i]=8/10$ であり、白球の総数は $X_1+X_2+X_3$ だから、期待値の線形性より $$\displaystyle \mathbb E[X_1+X_2+X_3]=3\cdot\frac{8}{10}=\frac{12}{5}.$$ 　 期待値を分布からも確認すると、白球の個数 $W$ は1,2,3のいずれかで、確率は順に $\displaystyle \binom81\binom22/\binom{10}3=8/120$、$\displaystyle \binom82\binom21/\binom{10}3=56/120$、$\displaystyle \binom83/\binom{10}3=56/120$。従って $E[W]=(8+2\cdot56+3\cdot56)/120=12/5$。