3鹿児島大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1) 楕円の中心は $\displaystyle \left(\dfrac{a}{1-a},0\right)$ であり、横方向と縦方向の半径はそれぞれ $$\displaystyle c=\frac{a}{1-a},\qquad b=\sqrt{\frac{a^2(1+a)}{1-a}}=a\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}$$ である。したがって、楕円の上半分の方程式は $$\displaystyle y=b\sqrt{1-\left(\frac{x-c}{c}\right)^2}\qquad (0\le x\le 2c)$$ となる。$\displaystyle u=\dfrac{x-c}{c}$ と置換すると、積分範囲は $-1\le u\le 1$ だから、 $$\displaystyle S_1(a)=2\int_0^{2c}b\sqrt{1-\left(\frac{x-c}{c}\right)^2}\,dx =2bc\int_{-1}^{1}\sqrt{1-u^2}\,du =2bc\cdot\frac{\pi}{2} =\pi bc.$$ ここで積分は半径1の上半円の面積である。よって $$\displaystyle S_1(a)=\pi\frac{a}{1-a}\cdot a\sqrt{\frac{1+a}{1-a}} =\frac{\pi a^2\sqrt{1+a}}{(1-a)^{3/2}}.$$

(2) $P=(a,a+a^2)$ とおく。$\displaystyle a-\dfrac{a}{1-a}=-\dfrac{a^2}{1-a}$ より、 $$\displaystyle \frac{\left(a-\frac{a}{1-a}\right)^2}{\left(\frac{a}{1-a}\right)^2} +\frac{(a+a^2)^2}{\frac{a^2(1+a)}{1-a}} =a^2+(1-a^2)=1$$ となるので、$P$ は $C_a$ 上にある。曲線の式を $x$ で微分すると $$\displaystyle \frac{2\left(x-\frac{a}{1-a}\right)}{\left(\frac{a}{1-a}\right)^2} +\frac{2y}{\frac{a^2(1+a)}{1-a}}\frac{dy}{dx}=0.$$ これに $P$ を代入すると $$\displaystyle -2(1-a)+\frac{2(1-a)}{a}\frac{dy}{dx}=0, \qquad \therefore\quad \left.\frac{dy}{dx}\right|_P=a.$$ したがって、$P$ における接線は $$y-(a+a^2)=a(x-a),$$ すなわち $l_a:y=ax+a$ である。

(3) 直線 $l_a$ は $x$ 軸と $(-1,0)$ で交わる。$\displaystyle c=\dfrac{a}{1-a}$ とすると、直線 $x=c$ と $l_a$ の交点は $$(c,ac+a)=(c,c)$$ であり、同じ直線と $x$ 軸との交点は $(c,0)$ である。よって三角形の底辺の長さは $\displaystyle c+1=\dfrac{1}{1-a}$、高さは $\displaystyle c=\dfrac{a}{1-a}$ だから、 $$\displaystyle S_2(a)=\frac12(c+1)c=\frac{a}{2(1-a)^2}.$$ したがって $$\displaystyle S(a)=\frac{S_2(a)}{S_1(a)} =\frac{1}{2\pi a\sqrt{(1-a)(1+a)}} =\frac{1}{2\pi\sqrt{a^2(1-a^2)}}.$$ ここで $t=a^2$ とおくと $0<t<1$ であり、 $$\displaystyle a^2(1-a^2)=t(1-t)=\frac14-\left(t-\frac12\right)^2\le\frac14.$$ 等号は $\displaystyle t=\dfrac12$、すなわち $\displaystyle a=\dfrac{1}{\sqrt2}$ のときに成立する。この値は範囲 $0<a<1$ に含まれるので、 $$\displaystyle \min\limits _{0<a<1}S(a)=\frac{1}{2\pi\sqrt{1/4}}=\frac1\pi$$ である。