5大阪大学 2026年 数学 第5問解答・解説

全事象は $6^3=216$ 個の順序付き出目列。対称性により $\alpha\le\beta\le m$ とすると $x=(\alpha+\beta+m)^2/(3\alpha\beta m)$。$\alpha+\beta+m\le3m$ より $x\le3m/(\alpha\beta)$ なので、整数候補は $\alpha\beta\le3m$ の有限個に限られる。

有限候補を $m=1,\ldots,6$ で調べると、整数となる昇順組・値・順列数は $$\begin{aligned} m=1 &: (1,1,1),\quad x=3,\quad 1\text{通り},\\ m=3 &: (1,2,3),\quad x=2,\quad 6\text{通り};\quad (3,3,3),\quad x=1,\quad 1\text{通り},\\ m=4 &: (1,1,4),\quad x=3,\quad 3\text{通り},\\ m=6 &: (2,4,6),\quad x=1,\quad 6\text{通り}. \end{aligned}$$

(1) $a=b=c=t$ なら $x=3/t$ なので $t=1,3$ の2通り、確率は $2/216=1/108$。

(2) $m=6$ の全列は $6^3-5^3=91$ 通り。該当は $(2,4,6)$ の6順列だけなので $6/216=1/36$。

(3) $m$ が偶数の全列は $7+37+91=135$ 通り。該当は $(1,1,4)$ の3順列と $(2,4,6)$ の6順列で9通り、条件付き確率は $9/135=1/15$.

順序付き標本空間を用い、対称性で昇順三つ組に集約。整数条件から有限候補を絞り、各候補の多重度を数えた。条件付き確率では最大値2,4,6の列数を引き算で合計した。