5宮崎大学 2016年 数学 第5問解答・解説

解答

$\angle AOP=\theta$で、$P$は第1象限にあるから、$P=(\sin\theta,\cos\theta)$である。直線$OP$は$y=x\cot\theta$なので、 $$Q=(k\theta,k\theta\cot\theta),\qquad r(\theta)=k\theta\csc\theta.$$ したがって、$\displaystyle\lim\limits _{\theta\to0+}r(\theta)=k$である。

$Q$がつねに単位円の内部にある条件は、$0<\theta<\pi/2$を満たすすべての$\theta$について$k\theta/\sin\theta<1$となることである。$h(\theta)=\theta/\sin\theta$とおくと、 $$\displaystyle h'(\theta)=\frac{\sin\theta-\theta\cos\theta}{\sin^2\theta}.$$ $m(\theta)=\sin\theta-\theta\cos\theta$とおくと、$m(0)=0$、$m'(\theta)=\theta\sin\theta>0$である。したがって$h$は増加し、右端での極限$\pi/2$に近づくが、その値はとらない。よって必要十分条件は$0<k\leq2/\pi$である。

$x=k\theta$より、 $$\displaystyle f(x)=x\cot(x/k),\qquad g(x)=\cot(x/k),\qquad 0<x<\frac{\pi k}{2}.$$ これを微分すると、 $$\displaystyle g'(x)=-\frac1k\csc^2(x/k)<0,\qquad g''(x)=\frac{2}{k^2}\csc^2(x/k)\cot(x/k)>0.$$ したがって$g$は減少し、グラフは下に凸である。定義域の左端と右端での極限は、それぞれ$+\infty$、$0$である。

(4)の回転体の断面は円になるので、 $$\displaystyle V=\pi\int_{\pi k/4}^{\pi k/3}g(x)^2\,dx=\pi k\int_{\pi/4}^{\pi/3}\cot^2u\,du=\pi k\left[-\cot u-u\right]_{\pi/4}^{\pi/3}=\pi k\left(1-\frac1{\sqrt3}-\frac\pi{12}\right).$$ この値は正であり、求める体積として矛盾しない。