滋賀医科大学 2026年数学第2問解答・解説

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1問題

滋賀医科大学2026年度第2問

0から9までの整数が書かれたカードが各1枚ずつ，合計10枚のカードが箱に入っている。この箱からカードを1枚取り出して，カードに書かれた数を調べてからもとに戻すという操作を3回繰り返す。出た数を順に $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ とする。

(1) $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ の中に素数が含まれる確率を求めよ。

(2) $a_{1}<a_{2}<a_{3}$ であり， $a_{2}$ が $a_{1}$ の倍数であり，かつ $a_{3}$ が $a_{2}$ の倍数である確率を求めよ。

(3) $a_{2}$ が $a_{1}$ の倍数であり，かつ $a_{3}$ が $a_{2}$ の倍数である確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 98/125。(2) 7/1000。(3) 67/1000。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

復元抽出なので、順序つきの全結果数は $10^3=1000$ 。

(1) 0から9のうち素数は2,3,5,7の4個。3回とも素数でない確率は $(6/10)^3$ なので $\displaystyle 1-\left(\frac6{10}\right)^3=\frac{98}{125}.$

(2) $a_2$ ごとに数える。 $a_2=2$ なら $(a_1,a_3)$ は $(1,4),(1,6),(1,8)$ の3通り。 $a_2=3$ なら $(1,6),(1,9)$ の2通り。 $a_2=4$ なら $(1,8),(2,8)$ の2通り。 $a_2\ge5$ では $a_3>a_2$ を満たす9以下の倍数がない。したがって7通りで、確率は $7/1000$ 。

(3) 除数となる $a_1,a_2$ は0でないものとして、 $a_2=b$ を固定する。 $a_1$ の選び方は $b$ の正の約数の個数、 $a_3$ は0を含む9以下の $b$ の倍数の個数である。 $\begin{array}{c|rrrrrrrrr} b&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline a_1&1&2&2&3&2&4&2&4&3\\ a_3&10&5&4&3&2&2&2&2&2\\\hline 積&10&10&8&9&4&8&4&8&6 \end{array}$ 合計は67通りなので確率は $67/1000$ 。

この問題で使う考え方

余事象
場合分けによる計数
約数・倍数の数え上げ

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