VII防衛医科大学校 2023年 数学 第VII問解答・解説

防衛医科大学校 2023 数学・VII

問題の確認

原本画像（PDF p.4、印字ページ3）で大問VIIの(1)、(2)を確認した。原点中心・半径2の球面上にある正三角形$ABC$は$xy$平面上にあり、$A=(2,0,0)$、$B$の$y$座標は正である。(1)では$\angle BOP=\pi/6$を満たす球面上の点のうち$z$座標最小の点$P_1$を求める。(2)では$\angle QOP_1=\pi/6$の球面上の点から$AQ$を最小にする$Q_1$を選び、四面体$ABCQ_1$の体積を求める。

(1) 点 $P_1$

$ABC$の外接円は球面と$xy$平面との交線であり、中心$O$、半径2である。正三角形の隣り合う頂点に対応する中心角は$2\pi/3$。$B$の$y$座標が正なので

$$B=(-1,\sqrt3,0),\qquad C=(-1,-\sqrt3,0).$$

$P=(x,y,z)$とする。$|OB|=|OP|=2$かつ$\angle BOP=\pi/6$より、内積を成分で表すと

$$\displaystyle (-1,\sqrt3,0)\cdot(x,y,z)=4\cos\frac{\pi}{6}=2\sqrt3,$$

すなわち$-x+\sqrt3y=2\sqrt3$。ここで

$$\displaystyle X=x+\frac{\sqrt3}{2},\qquad Y=y-\frac32$$

とおくと$-X+\sqrt3Y=0$、つまり$X=\sqrt3Y$。また球面の式に代入し、この関係を使うと

$$\begin{aligned} 4=x^2+y^2+z^2 &=X^2+Y^2+z^2+3-\sqrt3X+3Y\\ &=X^2+Y^2+z^2+3. \end{aligned}$$

よって$X^2+Y^2+z^2=1$であるから$z\geq-1$。$z=-1$となるには$X=Y=0$でなければならず、そのとき

$$\displaystyle \boxed{P_1=\left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac32,-1\right)}.$$

(2) 四面体 $ABCQ_1$ の体積

$Q=(q_x,q_y,q_z)$とする。角度条件は

$$\displaystyle Q\cdot P_1=|OQ||OP_1|\cos\frac{\pi}{6}=2\sqrt3.$$

この平面上の円の中心を

$$\displaystyle H=\frac{\sqrt3}{2}P_1=\left(-\frac34,\frac{3\sqrt3}{4},-\frac{\sqrt3}{2}\right)$$

とする。$|P_1|^2=4$より$H\cdot P_1=2\sqrt3$である。従って$\mathbf v=Q-H$は$P_1$に垂直であり、$H$にも垂直である。$\mathbf v=(v_x,v_y,v_z)$とおく。$|Q|^2=4$、$|H|^2=3$なので

$$|\mathbf v|^2=|Q-H|^2=|Q|^2-|H|^2=1.$$

一方

$$AQ^2=(q_x-2)^2+q_y^2+q_z^2=8-4q_x.$$

したがって$AQ$を最小にするには、$|\mathbf v|=1$、$\mathbf v\perp P_1$の条件下で$\mathbf v$の$x$成分を最大にすればよい。$\mathbf n=P_1/2=(-\sqrt3/4,3/4,-1/2)$、$\mathbf e=(1,0,0)$とおき、

$$\displaystyle \mathbf w=\mathbf e-(\mathbf e\cdot\mathbf n)\mathbf n =\left(\frac{13}{16},\frac{3\sqrt3}{16},-\frac{\sqrt3}{8}\right)$$

とする。$\mathbf w\perp\mathbf n$であり、$\mathbf v\perp\mathbf n$なので$v_x=\mathbf v\cdot\mathbf e=\mathbf v\cdot\mathbf w$。また

$$\displaystyle |\mathbf w|^2=\frac{169+27+12}{256}=\frac{13}{16}, \qquad |\mathbf w|=\frac{\sqrt{13}}4.$$

内積について

$$\displaystyle 0\leq\left|\mathbf v-\frac{\mathbf v\cdot\mathbf w}{|\mathbf w|^2}\mathbf w\right|^2 =|\mathbf v|^2-\frac{(\mathbf v\cdot\mathbf w)^2}{|\mathbf w|^2}$$

だから$|\mathbf v\cdot\mathbf w|\leq|\mathbf v||\mathbf w|$。従って$v_x\leq\sqrt{13}/4$。等号は$\mathbf v=\mathbf w/|\mathbf w|$のとき成立するので、このときが距離最小の$Q_1$である。座標を足すと

$$\displaystyle Q_1=H+\frac{\mathbf w}{|\mathbf w|} =\left(\frac{\sqrt{13}-3}{4},\frac{3\sqrt3}{4}\left(1+\frac1{\sqrt{13}}\right),-\frac{\sqrt3}{2}\left(1+\frac1{\sqrt{13}}\right)\right).$$

特に$\displaystyle (q_1)_z=-\frac{\sqrt3}{2}\left(1+\frac1{\sqrt{13}}\right)$.

底面$ABC$で$BC=2\sqrt3$、点$A$から直線$BC$までの距離は3だから

$$\displaystyle [\triangle ABC]=\frac12\cdot2\sqrt3\cdot3=3\sqrt3.$$

底面は$xy$平面上にあるので、四面体の高さは$|(q_1)_z|$。よって体積は

$$\displaystyle \begin{aligned} V_{ABCQ_1} &=\frac13\,[\triangle ABC]\cdot|(q_1)_z|\\ &=\sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2\sqrt{13}}\right)\\ &=\frac32\left(1+\frac1{\sqrt{13}}\right) =\boxed{\frac{3(13+\sqrt{13})}{26}}. \end{aligned}$$

最終答案

$$\displaystyle \boxed{P_1=\left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac32,-1\right)},\qquad \boxed{V_{ABCQ_1}=\frac{3(13+\sqrt{13})}{26}}.$$

使用した解法

正三角形の外接円から$B,C$を決め、内積条件と球面方程式を平方完成して$P_1$を求めた。後半は角度条件が定める平面と球面の交わりを中心$H$、半径1の円として表し、距離二乗を$q_x$の一次式に直した。内積の不等式で円上の$x$座標の最大値を求め、底面積と高さから体積を計算した。