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防衛医科大学校／2023年度／一般

防衛医科大学校 2023年 数学 第V問解答・解説

場合の数と確率

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1問題

防衛医科大学校2023年度第V問

白玉3個,黒玉6個の計9個の玉すべてを3つの箱 A,B,CA,B,C に分けることを考える。分け方の数え方については同じ色の玉は区別せず,箱は区別するものとする。また,玉が入らない箱がある場合も分け方として数えるものとする。このとき,分け方の総数は 91011\boxed{9}\boxed{10}\boxed{11} 通りである。どの箱にも少なくとも1個以上玉が入る分け方は 121314\boxed{12}\boxed{13}\boxed{14} 通りある。また,どの箱にも白玉が2個以上または黒玉が2個以上入る分け方は 1516\boxed{15}\boxed{16} 通りである。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

白玉の分配数は非負整数解 wA+wB+wC=3w_A+w_B+w_C=3 の個数 (52)=10\displaystyle \binom52=10、黒玉の分配数は bA+bB+bC=6b_A+b_B+b_C=6 の個数 (82)=28\displaystyle \binom82=28。色ごとの分配を独立に選ぶから総数は 10⋅28=28010\cdot28=280。

少なくとも1個の玉が入る箱がない場合、特定の箱を空にすると、白玉は残り2箱に4通り、黒玉は7通りなので28通り。空箱を1つ選ぶ場合を引き、2つの箱が空の場合（白黒とも残る1箱に入る1通り）を加える包除原理により 280−(31)⋅28+(32)⋅1=199.\displaystyle 280-\binom31\cdot28+\binom32\cdot1=199.

各箱で「白玉が2個以上または黒玉が2個以上」となる分配を数える。白玉の分配型は、(i) (1,1,1)(1,1,1)、(ii) (3,0,0)(3,0,0) の並べ替え、(iii) (2,1,0)(2,1,0) の並べ替えに限られる。(i)では各箱に黒玉が2個ずつ必要で1通り。(ii)で白玉3個の箱を固定すると、他の2箱に黒玉が各2個以上となる黒玉分配数は、下限を2ずつ引いて3変数の和を2にする方法数 (42)=6\displaystyle \binom42=6。(ii)の白玉配置は3通り。(iii)では白玉2個の箱を固定すると、残る2箱には黒玉が各2個以上必要で、残りの白玉1個をその2箱に置く方法は2通り。黒玉分配は各配置につき6通り。(iii)の白玉配置は6通り。従って 1+3⋅6+6⋅2⋅6=55.1+3\cdot6+6\cdot2\cdot6=55.

この問題で使う考え方

  • 組合せ
  • 和の法則

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