1東京医科歯科大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) 余弦の加法定理から $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta =\cos\alpha\cos\beta(1-\tan\alpha\tan\beta)=0.$$ $\cos\alpha\cos\beta>0$ なので $\cos(\alpha+\beta)=0$。また $0<\alpha+\beta<\pi$ より $$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}.$$

(2) 和の余弦を展開すると $$\begin{aligned} 0=\cos(\alpha+\beta+\gamma) &=\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma\\ &\quad-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\\ &=\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma \left(1-\tan\alpha\tan\beta-\tan\beta\tan\gamma-\tan\gamma\tan\alpha\right). \end{aligned}$$ 各角は鋭角なので $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma>0$。したがって $$\tan\alpha\tan\beta+\tan\beta\tan\gamma+\tan\gamma\tan\alpha=1,$$ よって一定値は 1 である。

(3) $x=\tan\alpha,\ y=\tan\beta,\ z=\tan\gamma$ とおくと、$x,y,z>0$ かつ (2) より $xy+yz+zx=1$。よって $$\displaystyle (x+y+z)^2-3 =\frac12\left((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right)\ge 0,$$ したがって $x+y+z\ge\sqrt3$。等号は $x=y=z$ のときであり、$\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{6}$ が条件を満たすので下端 $\sqrt3$ はとる。

さらに、$\displaystyle 0<t\le\frac{\pi}{6}$ として $$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}-2t,\qquad \beta=\gamma=t$$ とおくと、これらは条件を満たし、 $$S(t)=\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\cot(2t)+2\tan t.$$ $S$ は $\displaystyle 0<t\le\frac{\pi}{6}$ の範囲で連続であり、$\displaystyle \lim\limits _{t\to0+}S(t)=+\infty,\quad S(\frac{\pi}{6})=\sqrt3$。任意の $R>\sqrt3$ に対し十分小さい $t_0>0$ を選べば $S(t_0)>R$ となるため、中間値の定理を $\displaystyle t_0\le t\le\frac{\pi}{6}$ の範囲に適用すると $S(t)=R$ となる $t$ が存在する。$R=\sqrt3$ は $\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$ でとる。したがって値域は $\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma\ge\sqrt3$ である。