群馬大学 2023年数学第2問解答・解説

数学と人間の活動（整数）いろいろな式

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1問題

群馬大学2023年度第2問

以下の問に答えよ。

(1) 次の方程式の整数解をすべて求めよ。

$20x + 23y = 1$

(2) $461^{m}-24$ が $23^{2}$ の倍数になる正の整数 m をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\quad (x,y)=(-8+23k,\space{}7-20k)\quad(k\in\mathbb Z).$
$qquad (2)\quad m=15+23k\quad(k=0,1,2,\ldots).$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) ユークリッドの互除法を逆にたどると $23=20+3,\quad 20=6\cdot3+2,\quad 3=2+1 \quad\text{したがって}\quad 1=7\cdot23-8\cdot20.$ したがって一つの解は $(x,y)=(-8,7)$ 。別の解との差を $(u,v)$ とすれば $20u+23v=0$ 。 $20$ と $23$ は互いに素なので $23\mid u$ 。 $u=23k$ とおくと $v=-20k$ となり、整数解全体は $\boxed{(x,y)=(-8+23k,\ 7-20k)\quad(k\text{ は整数})}.$

(2) $461=1+20\cdot23$ だから、二項定理で $461^m=(1+20\cdot23)^m\equiv1+20m\cdot23\pmod{23^2}.$ ゆえに $461^m-24\equiv23(20m-1)\pmod{23^2}.$ これが $23^2$ の倍数となる条件は $20m\equiv1\pmod{23}$ 。 $20\cdot15\equiv1\pmod{23}$ より $\boxed{m=15+23k\quad(k=0,1,2,\ldots)}.$

この問題で使う考え方

ユークリッドの互除法
約数・倍数
二項定理

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