3東京慈恵会医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) $a_2$ は $m$ の最小の1より大きい正の約数である。したがって $a_2$ は素数であり、$p=a_2$ とおくと $p$ は $m$ の最小素因数である。$m$ は奇数なので $p$ と $m/p$ はともに奇数である。また、$m/p$ は $1$ と $m$ の間にある約数だから、条件 (ii) で $a_2=p$ と $m/p$ を比べることができる。$p$ は1より大きい正の約数のうち最小のものなので $p\le m/p$、さらに条件 (ii) より $$\displaystyle 0\le\frac{m}{p}-p\le3.$$ 左辺は奇数どうしの差であるから偶数であり、$\displaystyle \frac{m}{p}-p=0$ または $2$ である。よって $$m=p^2\quad\text{または}\quad m=p(p+2).$$ 前者では $m$ の正の約数は $1,p,p^2$ の3個であるから $k=3$ である。後者では $p+2$ は素数でなければならない。実際、これが合成数なら素因数 $q$ が $q\le\sqrt{p+2}<p$ を満たす。ここで $p^2>p+2$ は $p\ge3$ から従う。この $q$ は $m$ の素因数となり、$p$ が最小素因数であることに反する。したがって $p+2$ も素数であり、$m=p(p+2)$ の正の約数は $1,p,p+2,p(p+2)$ の4個であるから $k=4$ である。以上より $k$ は3または4で、$p=a_2$ だから $$m=\begin{cases}a_2^2&(k=3),\\a_2(a_2+2)&(k=4).\end{cases}$$

(2) $k=3$ のとき、(1)より $m=a_2^2$ である。二項定理から、任意の正整数 $n$ に対して $$\displaystyle (a_2n+1)^{a_2}-1=\sum\limits _{r=1}^{a_2}\binom{a_2}{r}(a_2n)^r.$$ $r=1$ の項は $a_2\cdot a_2n=a_2^2n$ で $a_2^2$ の倍数である。$r\ge2$ の各項は $(a_2n)^r$ に $a_2^2$ が含まれ、二項係数 $\displaystyle \binom{a_2}{r}$ は整数なので、やはり $a_2^2$ の倍数である。したがって和全体が $a_2^2=m$ の倍数となる。 検算として、展開の最低次数の項がすでに $a_2^2n$ であり、残る全項にも $a_2^2$ が因数として含まれるため、任意の正整数 $n$ に対する結論が保たれる。