2東京慈恵会医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) $f(-a)=0$ である。$h\ne0$ に対する差商は $$\displaystyle \frac{f(-a+h)-f(-a)}{h}=\frac{|h|}{h\sqrt{(-a+h)^2+1}}.$$ $h>0$ から近づけると $\displaystyle \frac1{\sqrt{a^2+1}}$、$h<0$ から近づけると $\displaystyle -\frac1{\sqrt{a^2+1}}$ に近づく。$a>0$ なのでこれらは異なり、$f$ は $x=-a$ で微分可能ではない。

(2) 任意の実数 $x$ について $$(a^2+1)(x^2+1)-(x+a)^2=(ax-1)^2\ge0.$$ $x^2+1>0$ なので両辺を $x^2+1$ で割り、平方根をとると $$\displaystyle f(x)=\frac{|x+a|}{\sqrt{x^2+1}}\le\sqrt{a^2+1}.$$ 等号は $ax=1$、すなわち $\displaystyle x=\frac1a$ のときに成立する。この $x$ は実数であるから、最大値は実際に $\sqrt{a^2+1}$ である。これが $\sqrt2$ となる条件は $a^2+1=2$。$a>0$ より $a=1$ である。

(3) $a=1$ のとき、グラフと $x$ 軸の交点は $x=-1$、$y$ 軸との交点は $x=0$ である。したがって囲まれた部分の $x$ の範囲は $-1\le x\le0$ であり、この範囲では $|x+1|=x+1$。回転体の断面を円板として $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_{-1}^{0}f(x)^2\,dx =\pi\int_{-1}^{0}\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\,dx\\ &=\pi\int_{-1}^{0}\left(1+\frac{2x}{x^2+1}\right)dx =\pi\left[x+\log(x^2+1)\right]_{-1}^{0} =\pi(1-\log2). \end{aligned}$$ 検算として、被積分関数 $(x+1)^2/(x^2+1)$ は$-1\le x\le0$ の範囲で非負であり、得られた体積 $\pi(1-\log2)$ も正である。