1東京慈恵会医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

袋Aの玉の総数を $a$、そのうち赤玉の数を $r$、袋Bの玉の総数を $b$、そのうち赤玉の数を $s$ とし、状態を $(a,r;b,s)$ と表す。白玉数はそれぞれ $a-r,b-s$ であり、初期状態は $(3,1;3,2)$ である。異色を引いたときは玉を交換するので、各袋の総数は変わらない。同色を引いたときは2個とも袋Aに入れるので、袋Aの総数は1増え、袋Bの総数は1減る。

(a) 1回目の操作の結果は次の通りである。 $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c} \text{袋A・袋Bから引く色}&\text{確率}&\text{操作後の状態}\\ \hline \text{赤・赤}&\frac13\cdot\frac23=\frac29&(4,2;2,1)\\ \text{白・白}&\frac23\cdot\frac13=\frac29&(4,1;2,2)\\ \text{赤・白}&\frac13\cdot\frac13=\frac19&(3,0;3,3)\\ \text{白・赤}&\frac23\cdot\frac23=\frac49&(3,2;3,1) \end{array}$$ 2回後に袋Aの赤玉が1個となる場合を調べる。状態 $(3,0;3,3)$ では袋Bが赤3個だけなので、次は必ず袋Aから白、袋Bから赤を引き、異色を交換する。確率 $1/9$ で状態 $(3,1;3,2)$ になる。状態 $(3,2;3,1)$ から同じく袋Aの赤・袋Bの白を引く確率は $$\displaystyle \frac23\cdot\frac23=\frac49,$$ なので、寄与は $\displaystyle \frac49\cdot\frac49=\frac{16}{81}$ である。状態 $(4,2;2,1)$ から袋Aの赤・袋Bの白を引く確率は $$\displaystyle \frac24\cdot\frac12=\frac14,$$ なので、寄与は $\displaystyle \frac29\cdot\frac14=\frac1{18}$ である。残る状態 $(4,1;2,2)$ では袋Bが赤玉だけであり、袋Aの赤を引けば同色で赤玉が袋Aに加わり、袋Aの白を引けば異色交換で赤玉が袋Aに入るため、次の赤玉数は1個にならない。 したがって $$\displaystyle P(\text{2回後に袋Aの赤玉が1個})=\frac19+\frac{16}{81}+\frac1{18}=\frac{59}{162}.$$

(b) 2回後に袋Aの赤玉が1個となる状態と確率は、上の経路をまとめると $$\displaystyle (3,1;3,2)\text{ が }\frac19+\frac{16}{81}=\frac{25}{81},\qquad (4,1;2,2)\text{ が }\frac1{18}$$ である。1回の操作で袋Aの赤玉数が0個になるには、袋Aから赤、袋Bから白を引いて異色交換する必要がある。状態 $(3,1;3,2)$ からこの確率は $\displaystyle \frac13\cdot\frac13=\frac19$ である。一方、状態 $(4,1;2,2)$ では袋Bに白玉がないので、この操作は起こらない。よって $$\displaystyle P(\text{3回後に袋Aの赤玉が0個})=\frac{25}{81}\cdot\frac19=\frac{25}{729}.$$ 検算として、1回目の4通りの確率は $\displaystyle \frac29+\frac29+\frac19+\frac49=1$。また2回後の赤玉1個の確率は、互いに異なる二状態の確率 $\displaystyle \frac{25}{81}+\frac1{18}=\frac{59}{162}$ と一致する。