1京都大学 2025年 数学 第1問解答・解説

問1 $z=x+iy, x^2+y^2=4$とする。 $$\displaystyle \frac iz=\frac{i\overline z}{4}=\frac y4+\frac{x}{4}i,\quad |z-i/z|^2=(x-y/4)^2+(y-x/4)^2=\frac{17}{4}-xy.$$ $(x-y)^2\ge0,(x+y)^2\ge0$より$-2\le xy\le2$、等号はそれぞれ$x=y$, $x=-y$のとき実現。したがって$|z-i/z|^2$の範囲は$9/4\le|z-i/z|^2\le25/4$で、最小3/2、最大5/2。 問2(1) $$\displaystyle \frac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1} =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+2x-\frac{2x}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}.$$ 最初の3項はそれぞれ$\sqrt{x^2+1}, x^2, -\log(x^2+1)$の微分から積分できる。最後は$x=\tan\theta$（$0\le\theta\le\pi/3$）と置くと$dx/(1+x^2)=d\theta$なので、$\displaystyle \int_0^{\sqrt3} dx/(1+x^2)=\int_0^{\pi/3}d\theta=\pi/3$。よって定積分の値は$4-\log4+\pi/3$。 問2(2) $\displaystyle 0\le x\le\frac\pi2$では半角公式と非負性より $$\displaystyle \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\tan\frac x2.$$ ゆえに積分は$\displaystyle \left[-2\log\left(\cos\frac{x}{2}\right)\right]_0^{\pi/2}=\log2$。