3京都大学 2025年 数学 第3問解答・解説

以下の独立解説を採用する。

数学解説

切片座標の式

$f'(t)=t(1+2\log t)$。接線に垂直な直線の傾きは $-1/[t(1+2\log t)]$ である。これが $(t,g(t))$ を通り $x$ 軸と交わる点を $(p(t),0)$ とするから $$\displaystyle -g(t)=-\frac{p(t)-t}{t(1+2\log t)},$$ すなわち $$p(t)=t+t(1+2\log t)g(t)=t^3\log t(1+2\log t).$$

値域

$u=\log t$ とおくと $-1/2<u\le1$ で $$P(u)=e^{3u}u(1+2u),\qquad P'(u)=e^{3u}(u+1)(6u+1).$$ この区間で $u+1>0$。従って $P$ は $-1/2<u<-1/6$ で減少、$-1/6<u\le1$ で増加する。左端は含まず $P(u)\to0$ で、内部の最小点 $u=-1/6$ では $P=-1/(9\sqrt e)$。右端では $P(1)=3e^3$。よって $$\displaystyle \boxed{-\frac1{9\sqrt e}\le p(t)\le3e^3}.$$

単元・方法・テーマ

単元：数学III「微分法」、数学III「指数・対数関数」。方法：接線の傾きと垂直条件、変数変換 $u=\log t$、導関数の符号と端点極限。テーマ：接線法線を通じた対数関数の値域。