2京都大学 2025年 数学 第2問解答・解説

合同式 $x^6+y^4\equiv 0\pmod 9$ を考える。整数 $n$ について、$3\mid n$ なら $n^6\equiv n^4\equiv0\pmod9$ である。また、$3\nmid n$ なら $n^2\equiv1,4,7\pmod9$ なので、$n^6\equiv1\pmod9$、$n^4\equiv1,7,4\pmod9$ のいずれかである。したがって $3\nmid x$ のとき $x^6+y^4$ は $1,2,5,8\pmod9$ のいずれかとなり、$9$ の倍数にならない。よって $3\mid x$ である。このとき $x^6\equiv0\pmod9$ だから $y^4\equiv0\pmod9$ となり、$3\mid y$ も従う。

$x=3a,\ y=3b$（$a,b$ は正の整数）とおくと、$N=81(9a^6+b^4)$ である。$N=9z^2$ より $z^2=9(9a^6+b^4)$ となるので $3\mid z$。$z=3c$（$c$ は正の整数）とおけば、$c^2=9a^6+b^4$ を得る。

$S=9a^6+b^4$ とおくと $S\ge10$ である。$S<25$ かつ $S$ が平方数なら $S=16$ でなければならない。しかし $a\ge2$ なら $9a^6\ge576$ だから、$S=16$ の場合は $a=1$。すると $b^4=7$ となるが、これは不可能である。よって $S\ge25$。

$a=1,\ b=2,\ c=5$ とすると $c^2=9+16=25$ で条件を満たす。実際、$x=3,\ y=6,\ z=15$ とすれば $x^6+y^4=729+1296=2025=9\cdot15^2$ である。したがって求める最小値は $81\cdot25=\boxed{2025}$。