2名古屋大学 2025年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{条件 }a\ge b\ge0\text{ のもとで }x=a-b,\ y=a+b\text{ とおくと、}\ xy=a^2-b^2=c,\ 0\le x\le y.\ c>0\text{ なので }x,y>0\text{ であり、}\ x,y\text{ は同じ偶奇である。}\quad (a,b)=\left(\frac{x+y}{2},\frac{y-x}{2}\right)\text{ と戻せるので、同じ偶奇の正の因数対 }x\le y\text{ を調べればよい。}\\[2mm]\text{(1)}\ c=24\text{ の因数対 }(x,y)=(1,24),(2,12),(3,8),(4,6)\text{ のうち同偶奇なのは }(2,12),(4,6)\text{ で、対応する }(a,b)\text{ は }(7,5),(5,1).\ c=25\text{ では }(1,25),(5,5)\text{ がともに適し、}\ (a,b)=(13,12),(5,0).\ c=26\text{ の因数対 }(1,26),(2,13)\text{ はいずれも偶奇が異なるため解はない。}\\[2mm]\text{(2)}\ c=4p^{2n}\text{ は偶数で、同偶奇の }x,y\text{ がともに奇数なら積が奇数となるから、}\ x,y\text{ はともに偶数。}\ x=2r,\ y=2s\text{ とすると }1\le r\le s,\ rs=p^{2n}.\ p\text{ は素数なので }r=p^k,\ s=p^{2n-k}\text{ となり、}\ r\le s\text{ より }k=0,1,\ldots,n.\ \text{したがって }(a,b)=(r+s,s-r)=\left(p^k+p^{2n-k},\ p^{2n-k}-p^k\right)\ (k=0,1,\ldots,n).$$