4名古屋大学 2025年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &\text{コイン }i\text{ の選択回数が偶数のとき }x_i=0\text{、奇数のとき }x_i=1\text{ とする。} &\text{全て裏向きである条件は} &x_2+x_4\equiv1,\quad x_1+x_3+x_5\equiv1,\quad x_2+x_6\equiv1,\\ &x_1+x_5\equiv1,\quad x_2+x_4+x_6\equiv1,\quad x_3+x_5\equiv1\pmod2.\\ &x_4\equiv1-x_2,\quad x_6\equiv1-x_2,\quad x_5\equiv1-x_1,\quad x_3\equiv x_1\pmod2.\\ &\text{これを }x_2+x_4+x_6\equiv1\text{ に代入すると }x_2\equiv1,\text{ よって }x_4=x_6=0.\\ &x_1+x_3+x_5\equiv1\text{ より }x_1=0,\quad x_3=0,\quad x_5=1.\\ &\therefore (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(0,1,0,0,1,0),\\ &A=\{2,5\},\quad B=\{1,3,4,6\}.\\ &p_2=\frac{2}{6^2}=\frac{1}{18}.\\ &n=4\text{ のとき、選択回数は }(n_2,n_5)=(1,1)\text{ または }(3,1),(1,3).\\ &\text{前者では残り2回を }\{1,3,4,6\}\text{ のいずれか1種に使うので }4\cdot\frac{4!}{2!}=48\text{ 通り。}\\ &\text{後二者は }2\cdot\frac{4!}{3!}=8\text{ 通り。したがって }\\ &p_4=\frac{48+8}{6^4}=\frac{56}{1296}=\frac{7}{162}.\end{aligned}$$