4京都大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1)　 $\overrightarrow{OA}$=$\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}$=$\mathbf{b}$, $\overrightarrow{OC}$=$\mathbf{c}$ とおく。4点 O,A,B,C は同一平面上にないので、$\mathbf{a}$,$\mathbf{b}$,$\mathbf{c}$ は一次独立である。したがって、任意の点 X はただ一通りに $$\overrightarrow{OX}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}+z\mathbf{c}$$ と表される。

L=s$\mathbf{a}$, M=t$\mathbf{b}$, N=u$\mathbf{c}$ であり、s,t,u はいずれも 0 ではない。よって L,M,N は一次独立で、平面 LMN は $$\displaystyle \frac{x}{s}+\frac{y}{t}+\frac{z}{u}=1$$ で表される。

$\alpha$=$\displaystyle \frac1s$, $\beta$=$\displaystyle \frac1t$, $\gamma$=$\displaystyle \frac1u$ とおくと、条件は $\alpha$+2$\beta$+3$\gamma$=4 となる。共通点 P の座標を $\overrightarrow{OP}$=p$\mathbf{a}$+q$\mathbf{b}$+r$\mathbf{c}$ とすると、P がすべての平面 LMN 上にあるための条件は $$p\alpha+q\beta+r\gamma=1$$ が、$\alpha$,$\beta$,$\gamma$$\ne$0 かつ $\alpha$+2$\beta$+3$\gamma$=4 を満たすすべての組で成り立つことである。

$\gamma$=$\displaystyle \frac{4-\alpha-2\beta}{3}$ を代入すると $$\displaystyle \left(p-\frac r3\right)\alpha+\left(q-\frac{2r}{3}\right)\beta+\frac{4r}{3}=1.$$ ここで $\alpha$,$\beta$ は $\alpha$$\ne$0, $\beta$$\ne$0, $\alpha$+2$\beta$$\ne$4 の範囲で任意に動く。この範囲は平面上に開いた領域を含むので、上の一次式が常に 1 であるためには $$\displaystyle p-\frac r3=0,\qquad q-\frac{2r}{3}=0,\qquad \frac{4r}{3}=1$$ でなければならない。したがって p=$\displaystyle \frac14$, q=$\displaystyle \frac12$, r=$\displaystyle \frac34$ である。

実際、この座標をもつ点 P については、任意の条件を満たす $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ に対し $$\displaystyle p\alpha+q\beta+r\gamma=\frac{\alpha+2\beta+3\gamma}{4}=1$$ となるから、P はすべての平面 LMN 上にある。また、すべての平面に共通する点の座標は上の連立条件からこの一通りに定まる。よって、そのような点 P はただ一つであり、 $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac14\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{OB}+\frac34\overrightarrow{OC}$$ である。

(2)　 (1) の式を点の係数で表すと $$\displaystyle P=-\frac12 O+\frac14 A+\frac12 B+\frac34 C, \qquad -\frac12+\frac14+\frac12+\frac34=1.$$ 平面 ABC からの符号付き距離を h とすると、h(A)=h(B)=h(C)=0 であるから、点の係数に関する一次性より h(P)=-$\displaystyle \frac12$ h(O) となる。したがって、P と O の平面 ABC への高さの大きさの比は 1:2 である。底面 ABC は共通なので、 $$\displaystyle \frac{\operatorname{Vol}(PABC)}{V}=\frac{|h(P)|}{|h(O)|}=\frac12.$$ よって、四面体 PABC の体積は $\displaystyle \frac V2$ である。