4福井大学 2024年 数学 第4問解答・解説

解答 $x$軸を含む平面は $z=ky$ と書ける。中心 $C$から平面までの符号付き距離（$z-ky>0$側を正）は $$\displaystyle d=\frac{2-2k}{\sqrt{1+k^2}}.$$ (1) $P(4,4,2)$ から $\displaystyle k=\frac12$ で、$|d|=2/\sqrt5$。球と平面の交円の半径は $\sqrt{2^2-d^2}=4/\sqrt5$。 (2) $\displaystyle k=\frac12$ では中心が$z-ky>0$側にある。下側にできる小球冠の高さは $h=2-|d|=2-2/\sqrt5$。半径2の球冠体積 $V(h)=\pi h^2(2-h/3)$ を代入すると $K_D=\pi(16/3-112\sqrt5/75)$。 (3) 全体積は$32\pi/3$なので比より $K_U=5\pi/3$。比が$5/27$で上側は全体の$5/32$にすぎず半球より小さいので、中心は下側にある。上側は高さ $h$ の小球冠であり、$h^2(2-h/3)=5/3$。整理すると $(h-1)(h^2-5h-5)=0$。$0<h<2$から $h=1$、よって符号付き距離 $d=h-2=-1$。これを距離式に代入して $2(k-1)/\sqrt{1+k^2}=1$。$k>1$ を用いて $k=(4+\sqrt7)/3$。$Q$ は $y=5$ 上にあるから $\displaystyle z=5k=\frac{5(4+\sqrt7)}{3}$。

編集ラベル - 単元: 数学II・図形と方程式、数学III・積分法 - 方法: 点と平面の距離、球冠断面積の積分、二次方程式の範囲確認 - テーマ: 球の体積比から平面の傾きと座標を求める