1東京大学 2001年 数学 第1問解答・解説

A,Bの中点をMとする。$AC=BC$、$AD=BD$ だから、$C,D$ はともに $AB$ の垂直二等分平面上にある。また、球の中心を $O$ とすると $OA=OB$ より $O$ もこの平面上にある。

$\displaystyle AM=\frac{\sqrt3}{2}$ であり、$AM\perp MC,MD$ だから $$\displaystyle MC^2=AC^2-AM^2=4-\frac34=\frac{13}{4},\qquad MD^2=AD^2-AM^2=\frac{13}{4}.$$ よって $M$ は $CD$ の垂直二等分平面上にもある。$K$ を $CD$ の中点とすると、$CK=1$ であり、$MK\perp CD$ なので $$\displaystyle MK^2=MC^2-CK^2=\frac{13}{4}-1=\frac94,\qquad MK=\frac32.$$ したがって、$O$ は $M,K$ を通る直線上にある。

この直線上で $M$ を原点、$K$ の向きを正とする有向距離を $x$ とする。$AM$ は垂直二等分平面に垂直であり、$CK\perp MK$ だから $$\displaystyle OA^2=x^2+\frac34,\qquad OC^2=\left(x-\frac32\right)^2+1.$$ $OA=OC$ より $$\displaystyle x^2+\frac34=\left(x-\frac32\right)^2+1, \qquad x=\frac56.$$ ゆえに球の半径 $r=OA$ は $$\displaystyle r^2=x^2+\frac34=\frac{25}{36}+\frac{27}{36}=\frac{13}{9}, \qquad \boxed{r=\frac{\sqrt{13}}{3}}.$$

ABおよびCDの垂直二等分平面の交線上に球心がある。中点間距離を三平方の定理で求め、交線上の有向座標で半径が等しい条件を解く。