4東京大学 2001年 数学 第4問解答・解説

漸化式から $$a_3=1+i,\qquad a_4=1+2i$$ であり、 $$\displaystyle b_1=i,\qquad b_2=1-i,\qquad b_3=\frac{3+i}{2}.$$ これらの複素平面上の座標は $(0,1),(1,-1),(3/2,1/2)$ である。傾きは、$b_1b_2$ 間で $-2$、$b_1b_3$ 間で $-1/3$ だから3点は一直線上にない。

円の中心を $(h,k)$ とする。3点までの距離が等しいので $$\displaystyle \begin{aligned} h^2+(k-1)^2&=(h-1)^2+(k+1)^2,\\ h^2+(k-1)^2&=\left(h-\frac32\right)^2+\left(k-\frac12\right)^2. \end{aligned}$$ 整理すると $h-2k=1/2$、$3h-k=3/2$ であり、$h=1/2, k=0$。したがって半径は $$\displaystyle \sqrt{\left(\frac12\right)^2+1^2}=\frac{\sqrt5}{2}$$ で、 $$\displaystyle C:\quad \left|z-\frac12\right|=\frac{\sqrt5}{2}.$$

次に、漸化式の虚部について $\operatorname{Im}a_2=\operatorname{Im}a_3=1$ である。虚部も同じ漸化式を満たすので $\operatorname{Im}a_n>0\ (n\ge2)$。また $a_1=1\ne0$ だから、すべての $a_n$ は0でなく、各 $b_n$ が定義される。漸化式より $$\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=1+\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac1{b_n}.$$ 円 $C$ の方程式を整理すると $$\displaystyle \left|z-\frac12\right|^2=\frac54 \quad\text{すなわち}\quad |z|^2=\operatorname{Re}z+1.$$ 特に点0は円 $C$ 上にない。点 $z$ が円 $C$ 上にあるなら $$\displaystyle \left|1+\frac1z-\frac12\right|^2 =\left|\frac12+\frac1z\right|^2 =\frac14+\frac{\operatorname{Re}z+1}{|z|^2} =\frac54,$$ したがって点 $1+1/z$ も円 $C$ 上にある。初項 $b_1=i$ は $C$ 上にあり、上の漸化式と帰納法により、すべての $n\ge1$ で点 $b_n$ は円 $C$ 上にある。

$a_3=1+i, a_4=1+2i$から$b_1=i, b_2=1-i, b_3=(3+i)/2$を得る。これらは共線でない。等距離条件から中心$(1/2,0)$、半径$\sqrt5/2$。また$\operatorname{Im}a_n>0\ (n\ge2)$なので比は定義される。漸化式から$b_{n+1}=1+1/b_n$、一方$C$の方程式は$|z|^2=\operatorname{Re}z+1$であり、写像$z\mapsto1+1/z$は$C$を保つ。点 $b_1$ が円 $C$ 上にあることから帰納法で全ての$b_n$が$C$上にある。