2熊本大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} \text{(問1)}\quad & \vec u=-\vec e_1=(-1,0),\quad A=(-1,0).\\ & \vec v=(4,b),\quad b<0,\quad 16+b^2=20\text{したがって} b=-2,\\ & B=A+\vec v=(3,-2).\\ & \vec w=(8,c),\quad c>0,\quad64+c^2=128\text{したがって} c=8,\\ & C=B+\vec w=(11,6).\\[2pt] \text{(問2)}\quad & x^2+y^2+lx+my+n=0\ \text{に3点を代入すると}\\ & 1-l+n=0,\quad 13+3l-2m+n=0,\quad157+11l+6m+n=0.\\ & n=l-1,\quad2l-m=-6,\quad2l+m=-26,\\ & l=-8,\quad m=-10,\quad n=-9.\\ & x^2+y^2-8x-10y-9=0,\\ & (x-4)^2+(y-5)^2=50;\quad P=(4,5),\quad r=5\sqrt2.\\[2pt] \text{(問3)}\quad & \overrightarrow{AB}=(4,-2),\quad\overrightarrow{AC}=(12,6),\quad\overrightarrow{AP}=(5,5).\\ & [\triangle ABC]=\frac12|4\cdot6-(-2)\cdot12|=24,\\ & [\triangle ABP]=\frac12|4\cdot5-(-2)\cdot5|=15,\\ & [\triangle ABC]:[\triangle ABP]=24:15=8:5. \end{aligned}$$

ベクトルの第2成分は内積の符号条件で符号が決まり、長さ条件から $B=(3,-2),C=(11,6)$。円の一般形へ3点を代入して $l=-8,m=-10,n=-9$ を得る。平方完成で中心 $P=(4,5)$、半径 $5\sqrt2$。面積は座標による三角形の面積公式から $[ABC]=24$、$[ABP]=15$ となるため比は $8:5$。