12千葉大学 2008年 数学 第12問解答・解説

(1) $0\leq c\leq1$ とし、$\theta=\arcsin c$（$0\leq\theta\leq\pi/2$）とおく。$\sin x-c$ は区間 $$[0,\theta],\quad[\theta,\pi-\theta],\quad[\pi-\theta,4\pi/3]$$ で順に負、正、負となる。各区間で絶対値を外して積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} S(\sin\theta) &=\int_0^\theta(\sin\theta-\sin x)\,dx +\int_\theta^{\pi-\theta}(\sin x-\sin\theta)\,dx\\ &\quad+\int_{\pi-\theta}^{4\pi/3}(\sin\theta-\sin x)\,dx\\ &=\sin\theta\left(4\theta-\frac{2\pi}{3}\right)+4\cos\theta-\frac32. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \frac{d}{d\theta}S(\sin\theta)=\cos\theta\left(4\theta-\frac{2\pi}{3}\right).$$ $\cos\theta\geq0$ なので、$S$ は $0\leq\theta<\pi/6$ で減少し、$\pi/6<\theta\leq\pi/2$ で増加する。よってこの範囲の最小は $\theta=\pi/6$、すなわち $c=1/2$ であり $$\displaystyle S_{\min}=S(1/2)=2\sqrt3-\frac32.$$ $c\geq1$ では $|\sin x-c|=c-\sin x$ だから $$\displaystyle S(c)=\int_0^{4\pi/3}(c-\sin x)\,dx=\frac{4\pi}{3}c-\frac32,$$ これは増加する。従って全ての $c\geq0$ における最小値も上記である。

(2) 回転した立体の断面積は $\pi(\sin x-c)^2$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} V(c)&=\pi\int_0^{4\pi/3}(\sin x-c)^2\,dx\\ &=\pi\left(\frac{4\pi}{3}c^2-3c+\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{8}\right), \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle \int_0^{4\pi/3}\sin x\,dx=3/2$、$\displaystyle \int_0^{4\pi/3}\sin^2x\,dx=2\pi/3-\sqrt3/8$ を用いた。二次式の係数は正で、その頂点は許容範囲内の $$\displaystyle c=\frac{3}{2(4\pi/3)}=\frac{9}{8\pi}$$ である。したがって $$\displaystyle V_{\min}=\frac{2\pi^2}{3}-\frac{\pi\sqrt3}{8}-\frac{27}{16}.$$