4自治医科大学 2016年 数学 第4問解答・解説

$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ では左辺 $6\sin^2x+\sin x\cos x-2\cos^2x$ は $6$、$x=\pi$ では $-2$ となるので、条件を満たす $x$ は区間の端点ではない。したがって $\cos x\neq0$ であり、区間内では $\sin x>0,\ \cos x<0$ だから $\tan x<0$ である。 $$6\sin^2x+\sin x\cos x-2\cos^2x=0$$ を $\cos^2x$ で割ると $$6\tan^2x+\tan x-2=0 \quad\text{と同値な式は}\quad (3\tan x+2)(2\tan x-1)=0.$$ よって $\displaystyle \tan x=-\frac23$ または $\displaystyle \tan x=\frac12$ だが、区間で $\tan x<0$ なので $\displaystyle \tan x=-\frac23$ である。二倍角の公式から $$\displaystyle \sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2x} =\frac{-4/3}{13/9}=-\frac{12}{13},\qquad \cos 2x=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x} =\frac{5/9}{13/9}=\frac{5}{13}.$$ したがって $$\displaystyle -13(\sin 2x+\cos 2x) =-13\left(-\frac{12}{13}+\frac{5}{13}\right)=7.$$ 選択肢で $7$ に対応する記号はヤである。