6自治医科大学 2016年 数学 第6問解答・解説

$n$ が偶数なら $n\geq2$ であり、$n+2$ は $4$ 以上の偶数なので素数ではない。したがって $n$ は奇数である。 $n,n+2,n+4$ は間隔が $2$ の三つの整数なので、3を法とすると、$n,n+2,n+4$ の余りは $n$ の余りに応じて $(0,2,1)$、$(1,0,2)$、$(2,1,0)$ となる。したがって三数のうちちょうど一つが3の倍数である。三つすべてが素数なら、3の倍数となる項は素数でもあるため、その値は $3$ でなければならない。 その項が $n$ なら $n=3$ であり、実際に $(n,n+2,n+4)=(3,5,7)$ はすべて素数である。その項が $n+2$ なら $n+2=3$ から $n=1$ となるが、$1$ は素数ではない。その項が $n+4$ なら $n=-1$ となり、$1\leq n$ に反する。よって条件を満たすのは $n=3$ のみで、個数は $1$ 個である。共通の選択肢で $1$ に対応する記号はカ。