16自治医科大学 2016年 数学 第16問解答・解説

解答

初項 $1$、公比 $2$ の等比数列だから $$\displaystyle S=\sum\limits _{n=1}^{101}2^{n-1}=\frac{2^{101}-1}{2-1}=2^{101}-1, \qquad S+1=2^{101}.$$ 正の整数 $N$ の桁数は $\lfloor\log_{10}N\rfloor+1$ である。与えられた値を使うと $$\log_{10}(S+1)=\log_{10}(2^{101}) =101\log_{10}2=101(0.3010)=30.401.$$ $30\le 30.401<31$ より $\lfloor\log_{10}(S+1)\rfloor=30$。したがって $S+1$ は $31$ 桁であり、$30+b=31$ から $$b=1.$$ 選択肢はカである。