15自治医科大学 2016年 数学 第15問解答・解説

解答

$A$ を原点とし、$\overrightarrow{AB}=\vec b,\ \overrightarrow{AC}=\vec c$ とおく。三角形 $ABC$ は退化していないので、$\vec b,\vec c$ は一次独立である。内分比より $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{2\vec b+\vec c}{3}, \qquad \overrightarrow{AQ}=\frac{3\vec c+2\vec 0}{5}=\frac35\vec c.$$ $S$ は直線 $AP$ 上かつ直線 $BQ$ 上にあるから、ある実数 $t,u$ によって $$\overrightarrow{AS}=t\overrightarrow{AP} =(1-u)\vec b+u\overrightarrow{AQ}$$ と表せる。一次独立な $\vec b,\vec c$ の係数を比較すると $$\displaystyle \frac{2t}{3}=1-u,\qquad \frac{t}{3}=\frac{3u}{5}.$$ したがって $t=9u/5$ を第1式に代入して $u=5/11,\ t=9/11$ を得る。よって $$\displaystyle \overrightarrow{AS}=\frac{6\vec b+3\vec c}{11}.$$ $R$ は直線 $CS$ と $AB$ の交点なので、ある実数 $v$ について $$\displaystyle \overrightarrow{AR}=(1-v)\vec c+v\overrightarrow{AS} =\frac{6v}{11}\vec b+\left(1-\frac{8v}{11}\right)\vec c.$$ $R$ が $AB$ 上にあるためには $\vec c$ の係数が $0$ であり、$v=11/8$。このとき $\overrightarrow{AR}=3\vec b/4$ だから $m=AR/AB=3/4$ である。したがって $$4m=3.$$ 選択肢はタである。